Demonstre os seguintes resultados:
Se dois ângulos são complementares, então ambos são agudos.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente demonstre que se dois ângulos são complementares, então ambos são agudos. Isso está relacionado aos conceitos de ângulos complementares e ângulos agudos, que fazem parte da matéria de geometria básica. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar as definições desses tipos de ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são ângulos complementares. Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas for igual a . Ou seja, se temos dois ângulos e , eles são complementares se:

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa um ângulo ser agudo. Um ângulo é considerado agudo se a sua medida é menor que . Portanto, para ser agudo, um ângulo deve satisfazer:

Passo 4

Vamos supor que temos dois ângulos complementares, e , então sabemos que:
Queremos mostrar que ambos e são agudos, ou seja, e .

Passo 5

Vamos supor, para fins de contradição, que pelo menos um dos ângulos não é agudo. Sem perda de generalidade, suponha que . Se , então para que seja verdade, teria que ser:
Mas um ângulo com medida menor ou igual a não faz sentido no contexto de ângulos positivos. Portanto, nossa suposição de que está errada.

Passo 6

Como a suposição de que leva a uma contradição, devemos concluir que . Da mesma forma, seguindo o mesmo raciocínio, .

Resposta

Portanto, se dois ângulos são complementares, ambos são agudos.

Exercícios relacionados

Apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira. Mostre, com contra-exemplos, que as demais são falsas. Se são L.D., então são L.D.
Para a matriz
encontre os autovalores e autovetores de D.
Demonstre os seguintes resultados:
Os complementos de ângulos congruentes são congruentes.
Como definido, por triângulo entendemos um polígono de três lado. Um triângulo tem por elementos os três vértices, que são os pontos e ; os três lados, que são os segmentos e ; e os três ângulos internos, que são e . Quanto à medida de seus lados um triângulo pode ser chamado:
triângulo equilátero, quando possui os três lados dois a dois congruentes.