Demonstre os seguintes resultados:
Se dois ângulos são complementares, então ambos são agudos.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente demonstre que se dois ângulos são complementares, então ambos são agudos. Isso está relacionado aos conceitos de ângulos complementares e ângulos agudos, que fazem parte da matéria de geometria básica. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar as definições desses tipos de ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são ângulos complementares. Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas for igual a A + B = 90^circ . Ou seja, se temos dois ângulos e , eles são complementares se:

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa um ângulo ser agudo. Um ângulo é considerado agudo se a sua medida é menor que X < 90^circ . Portanto, para ser agudo, um ângulo deve satisfazer:

Passo 4

Vamos supor que temos dois ângulos complementares, A + B = 90^circ e , então sabemos que:
Queremos mostrar que ambos e são agudos, ou seja, e .

Passo 5

Vamos supor, para fins de contradição, que pelo menos um dos ângulos não é agudo. Sem perda de generalidade, suponha que B = 90^circ - A <= 0^circ . Se , então para que seja verdade, teria que ser:
Mas um ângulo com medida menor ou igual a não faz sentido no contexto de ângulos positivos. Portanto, nossa suposição de que está errada.

Passo 6

Como a suposição de que leva a uma contradição, devemos concluir que . Da mesma forma, seguindo o mesmo raciocínio, .

Resposta

Portanto, se dois ângulos são complementares, ambos são agudos.

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