Demonstre os seguintes resultados:
Se dois ângulos são complementares, então ambos são agudos.
Se dois ângulos são complementares, então ambos são agudos.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente demonstre que se dois ângulos são complementares, então ambos são agudos. Isso está relacionado aos conceitos de ângulos complementares e ângulos agudos, que fazem parte da matéria de geometria básica. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar as definições desses tipos de ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são ângulos complementares. Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas for igual a
. Ou seja, se temos dois ângulos
e
, eles são complementares se:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa um ângulo ser agudo. Um ângulo é considerado agudo se a sua medida é menor que
. Portanto, para ser agudo, um ângulo
deve satisfazer:
Passo 4
Vamos supor que temos dois ângulos complementares,
e
, então sabemos que:
Queremos mostrar que ambos
e
são agudos, ou seja,
e
.
Passo 5
Vamos supor, para fins de contradição, que pelo menos um dos ângulos não é agudo. Sem perda de generalidade, suponha que
. Se
, então para que
seja verdade,
teria que ser:
Mas um ângulo com medida menor ou igual a
não faz sentido no contexto de ângulos positivos. Portanto, nossa suposição de que
está errada.
Passo 6
Como a suposição de que
leva a uma contradição, devemos concluir que
. Da mesma forma, seguindo o mesmo raciocínio,
.
Resposta
Portanto, se dois ângulos são complementares, ambos são agudos.