Apenas duas das afirmações abaixo são verdadeiras. Quais?
( ) toda sequência monótona é convergente
( ) toda sequência convergente é limitada
( ) toda sequência limitada é monótona
( ) toda sequência monótona e limitada converge

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para a gente identificar quais duas das quatro afirmações sobre sequências são verdadeiras. Vamos precisar entender os conceitos de sequência monótona, convergente e limitada para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência converge se, conforme você vai avançando nos termos dela, os valores se aproximam cada vez mais de um número específico, chamado de limite.

Passo 3

Agora, uma sequência limitada é aquela que seus termos não passam de certos limites, tanto acima quanto abaixo. Ou seja, existe um valor máximo e um mínimo que a sequência não ultrapassa.

Passo 4

Uma sequência monótona pode ser crescente ou decrescente. Se é crescente, cada termo é maior ou igual ao anterior. Se é decrescente, cada termo é menor ou igual ao anterior.

Passo 5

Vamos analisar cada afirmação:
  1. Toda sequência monótona é convergente.
    • Nem sempre é verdade. Por exemplo, a sequência é crescente e não converge porque cresce infinitamente.
  2. Toda sequência convergente é limitada.
    • Isso é verdadeiro. Se uma sequência converge para um limite , então todos os seus termos ficam próximos de , garantindo que ela seja limitada.
  3. Toda sequência limitada é monótona.
    • Não é verdade. Por exemplo, a sequência é limitada (entre -1 e 1) mas não é monótona, pois oscila.
  4. Toda sequência monótona e limitada converge.
    • Isso é verdadeiro. Se uma sequência é monótona e limitada, pelo Teorema de Monotonia, ela necessariamente converge para um limite.

Resposta

As afirmações 2 e 4 são verdadeiras.

Exercícios relacionados

Relacione a segunda coluna de acordo com a primeira:
© sequência decrescente
( )
Relacione a segunda coluna de acordo com a primeira:
(a) sequência limitada
( )
Qual das seguintes expressões representa o termo geral da seqüência ?
( )
( )
( )
( )
Relacione a segunda coluna de acordo com a primeira:
(b) sequência crescente
( )