Apesar de não funcionar para átomos com muitos elétrons, o modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio também pode ser aplicado para qualquer átomo com um único elétron. Considere um átomo de hélio ionizado
, de tal forma que este átomo tem dois prótons em seu núcleo, mas somente um elétron.
A partir do postulado de Bohr para a quantização do momento angular, calcule os raios possíveis para as órbitas eletrônicas do
. Estes raios serão maiores ou menores do que os do átomo de Hidrogênio?
A partir do postulado de Bohr para a quantização do momento angular, calcule os raios possíveis para as órbitas eletrônicas do
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos que calcular os raios possíveis das órbitas eletrônicas para o íon
usando o modelo de Bohr. Vamos comparar esses raios com os do átomo de Hidrogênio. Para resolver isso, vamos precisar entender o postulado de Bohr sobre a quantização do momento angular e como ele se aplica a átomos com um único elétron.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o postulado de Bohr para a quantização do momento angular. Segundo Bohr, o momento angular do elétron em órbita é quantizado e dado por:
onde:
-
é o momento angular, -
é um número inteiro positivo (n = 1, 2, 3, …), -
é a constante reduzida de Planck, .
Passo 3
O momento angular
também pode ser expresso em termos do raio da órbita
e da velocidade do elétron
:
onde
é a massa do elétron.
Passo 4
Igualando as duas expressões para o momento angular, temos:
Isso nos dá uma relação entre a velocidade
e o raio
da órbita.
Passo 5
Agora, vamos considerar as forças atuando no elétron. A força centrípeta que mantém o elétron em órbita é fornecida pela força eletrostática de atração entre o elétron e o núcleo. A força eletrostática é dada por:
onde:
-
é o número de prótons no núcleo (para , ), -
é a carga elementar, -
é a permissividade do vácuo, -
é o raio da órbita.
Passo 6
A força centrípeta também pode ser expressa como:
Igualando as duas expressões para a força, temos:
Passo 7
Vamos substituir a expressão para
que encontramos no Passo 4 na equação acima. De
, isolando
:
Substituindo na equação da força:
Passo 8
Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Isolando o raio
:
Essa é a fórmula para o raio da órbita eletrônica no modelo de Bohr para um átomo com um único elétron.
Passo 10
Agora, vamos comparar com o raio do átomo de Hidrogênio. Para o Hidrogênio,
. Então, o raio do
, que tem
, será:
Isso mostra que os raios para o
são metade dos raios do Hidrogênio.
Resposta
Os raios possíveis das órbitas eletrônicas para o
são metade dos raios correspondentes ao átomo de Hidrogênio.
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