Apesar de não funcionar para átomos com muitos elétrons, o modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio também pode ser aplicado para qualquer átomo com um único elétron. Considere um átomo de hélio ionizado , de tal forma que este átomo tem dois prótons em seu núcleo, mas somente um elétron.
A partir do postulado de Bohr para a quantização do momento angular, calcule os raios possíveis para as órbitas eletrônicas do . Estes raios serão maiores ou menores do que os do átomo de Hidrogênio?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos que calcular os raios possíveis das órbitas eletrônicas para o íon usando o modelo de Bohr. Vamos comparar esses raios com os do átomo de Hidrogênio. Para resolver isso, vamos precisar entender o postulado de Bohr sobre a quantização do momento angular e como ele se aplica a átomos com um único elétron.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o postulado de Bohr para a quantização do momento angular. Segundo Bohr, o momento angular do elétron em órbita é quantizado e dado por:
onde:
  • é o momento angular,
  • é um número inteiro positivo (n = 1, 2, 3, …),
  • é a constante reduzida de Planck, .

Passo 3

O momento angular também pode ser expresso em termos do raio da órbita e da velocidade do elétron :
onde é a massa do elétron.

Passo 4

Igualando as duas expressões para o momento angular, temos:
Isso nos dá uma relação entre a velocidade e o raio da órbita.

Passo 5

Agora, vamos considerar as forças atuando no elétron. A força centrípeta que mantém o elétron em órbita é fornecida pela força eletrostática de atração entre o elétron e o núcleo. A força eletrostática é dada por:
onde:
  • é o número de prótons no núcleo (para , ),
  • é a carga elementar,
  • é a permissividade do vácuo,
  • é o raio da órbita.

Passo 6

A força centrípeta também pode ser expressa como:
Igualando as duas expressões para a força, temos:

Passo 7

Vamos substituir a expressão para que encontramos no Passo 4 na equação acima. De , isolando :
Substituindo na equação da força:

Passo 8

Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Isolando o raio :
Essa é a fórmula para o raio da órbita eletrônica no modelo de Bohr para um átomo com um único elétron.

Passo 10

Agora, vamos comparar com o raio do átomo de Hidrogênio. Para o Hidrogênio, . Então, o raio do , que tem , será:
Isso mostra que os raios para o são metade dos raios do Hidrogênio.

Resposta

Os raios possíveis das órbitas eletrônicas para o são metade dos raios correspondentes ao átomo de Hidrogênio.

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