Apesar de não funcionar para átomos com muitos elétrons, o modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio também pode ser aplicado para qualquer átomo com um único elétron. Considere um átomo de hélio ionizado He^+, de tal forma que este átomo tem dois prótons em seu núcleo, mas somente um elétron.
A partir do postulado de Bohr para a quantização do momento angular, calcule os raios possíveis para as órbitas eletrônicas do He^+. Estes raios serão maiores ou menores do que os do átomo de Hidrogênio?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos que calcular os raios possíveis das órbitas eletrônicas para o íon He^+ usando o modelo de Bohr. Vamos comparar esses raios com os do átomo de Hidrogênio. Para resolver isso, vamos precisar entender o postulado de Bohr sobre a quantização do momento angular e como ele se aplica a átomos com um único elétron.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o postulado de Bohr para a quantização do momento angular. Segundo Bohr, o momento angular do elétron em órbita é quantizado e dado por:
L = nhbar
onde:
  • L é o momento angular,
  • n é um número inteiro positivo (n = 1, 2, 3, …),
  • hbar é a constante reduzida de Planck, hbar = h2pi.

Passo 3

O momento angular L também pode ser expresso em termos do raio da órbita r e da velocidade do elétron v:
L = me v r
onde me é a massa do elétron.

Passo 4

Igualando as duas expressões para o momento angular, temos:
me v r = nhbar
Isso nos dá uma relação entre a velocidade v e o raio r da órbita.

Passo 5

Agora, vamos considerar as forças atuando no elétron. A força centrípeta que mantém o elétron em órbita é fornecida pela força eletrostática de atração entre o elétron e o núcleo. A força eletrostática é dada por:
F = Z e^24pivarepsilon0 r^2
onde:
  • Z é o número de prótons no núcleo (para He^+, Z=2),
  • e é a carga elementar,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo,
  • r é o raio da órbita.

Passo 6

A força centrípeta também pode ser expressa como:
F = me v^2r
Igualando as duas expressões para a força, temos:
me v^2r = Z e^24pivarepsilon0 r^2

Passo 7

Vamos substituir a expressão para v que encontramos no Passo 4 na equação acima. De me v r = nhbar, isolando v:
v = nhbarme r
Substituindo na equação da força:
me (nhbarme r)^2r = Z e^24pivarepsilon0 r^2

Passo 8

Simplificando a equação:
me (n^2 hbar^2me^2 r^2)r = Z e^24pivarepsilon0 r^2
n^2 hbar^2me r^3 = Z e^24pivarepsilon0 r^2
Multiplicando ambos os lados por r^3:
n^2 hbar^2 = Z e^24pivarepsilon0 r

Passo 9

Isolando o raio r:
r = 4pivarepsilon0 n^2 hbar^2Z me e^2
Essa é a fórmula para o raio da órbita eletrônica no modelo de Bohr para um átomo com um único elétron.

Passo 10

Agora, vamos comparar com o raio do átomo de Hidrogênio. Para o Hidrogênio, Z=1. Então, o raio do He^+, que tem Z=2, será:
rHe^+ = 4pivarepsilon0 n^2 hbar^22 me e^2 = 12 rH
Isso mostra que os raios para o He^+ são metade dos raios do Hidrogênio.

Resposta

Os raios possíveis das órbitas eletrônicas para o He^+ são metade dos raios correspondentes ao átomo de Hidrogênio.

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