Um circuito composto de um capacitor de capacitância está descarregando através de uma resistência R. a) Em termos da constante de tempo tau (que é igual ao produto de RC).
a) Determine, em que instante a carga no capacitor será igual ao 25 % do seu valor inicial?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um circuito com um capacitor que está descarregando através de uma resistência . A constante de tempo do circuito, representada por , é igual ao produto de e (ou seja, ). A pergunta é: em que instante a carga no capacitor será igual a 25% do seu valor inicial?
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula que descreve como a carga no capacitor diminui ao longo do tempo em um circuito RC.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que descreve a carga Q(t) = Q0 cdot e^-ttau no capacitor em função do tempo :
Aqui, é a carga inicial no capacitor e é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Queremos encontrar o instante Q(t) = 0,25 cdot Q0 quando a carga 0,25 cdot Q0 = Q0 cdot e^-ttau será igual a 25% da carga inicial . Isso significa:
Vamos substituir essa relação na fórmula da carga:

Passo 4

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 0,25 = e^-ttau :
ln(0,25) = -ttau
Agora, para resolver para , vamos tomar o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 5

Isolando t = -tau cdot ln(0,25) , temos:
t = -tau cdot (-ln(4)) = tau cdot ln(4)
Sabemos que , então:

Resposta

O instante em que a carga no capacitor será igual a 25% da sua carga inicial é:
t = tau cdot ln(4)

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