Considere o modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio. Um elétron é excitado de um nível para um nível ao absorver um fóton.
Calcule a velocidade de um életron no nível em função de .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que, no modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio, um elétron salta de um nível de energia para outro nível absorvendo um fóton. A pergunta quer que calculemos a velocidade do elétron no nível em função de , (constante de Coulomb), (carga do elétron) e (constante de Planck reduzida). Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos do modelo de Bohr, como a quantização do momento angular e o equilíbrio entre força centrípeta e força elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, segundo Bohr, o momento angular do elétron é quantizado. Isso significa que:
Aqui, é a massa do elétron, é a velocidade que queremos encontrar, é o raio da órbita no nível , e é o número quântico principal.

Passo 3

Também sabemos que a força centrípeta que mantém o elétron na órbita é fornecida pela força de Coulomb entre o elétron e o próton no núcleo:
Onde é a constante de Coulomb e é a carga do elétron.

Passo 4

Vamos resolver a equação da força centrípeta para :
Então, a velocidade é:

Passo 5

Agora, vamos usar a equação do momento angular quantizado para substituir . Da equação , isolamos :

Passo 6

Substituindo na expressão de , temos:

Passo 7

Agora, vamos isolar . Elevando ambos os lados ao quadrado:
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A velocidade do elétron no nível é dada por:

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