Considere o modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio. Um elétron é excitado de um nível n para um nível m>n ao absorver um fóton.
Calcule a velocidade de um életron no nível n em função de n, k, Qe, hbar.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que, no modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio, um elétron salta de um nível de energia n para outro nível m > n absorvendo um fóton. A pergunta quer que calculemos a velocidade do elétron no nível n em função de n, k (constante de Coulomb), Qe (carga do elétron) e hbar (constante de Planck reduzida). Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos do modelo de Bohr, como a quantização do momento angular e o equilíbrio entre força centrípeta e força elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, segundo Bohr, o momento angular do elétron é quantizado. Isso significa que:
m v r = n hbar
Aqui, m é a massa do elétron, v é a velocidade que queremos encontrar, r é o raio da órbita no nível n, e n é o número quântico principal.

Passo 3

Também sabemos que a força centrípeta que mantém o elétron na órbita é fornecida pela força de Coulomb entre o elétron e o próton no núcleo:
m v^2r = k Qe^2r^2
Onde k é a constante de Coulomb e Qe é a carga do elétron.

Passo 4

Vamos resolver a equação da força centrípeta para v^2:
m v^2 = k Qe^2r
v^2 = k Qe^2m r
Então, a velocidade v é:
v = raizk Qe^2m r

Passo 5

Agora, vamos usar a equação do momento angular quantizado para substituir r. Da equação m v r = n hbar, isolamos r:
r = n hbarm v

Passo 6

Substituindo r na expressão de v, temos:
v = raizk Qe^2m ( n hbarm v )
v = raizk Qe^2 vn hbar

Passo 7

Agora, vamos isolar v. Elevando ambos os lados ao quadrado:
v^2 = k Qe^2 vn hbar
Dividindo ambos os lados por v:
v = k Qe^2n hbar

Resposta

A velocidade do elétron no nível n é dada por:
vn = k Qe^2n hbar

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