Considere o modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio. Um elétron é excitado de um nível
para um nível
ao absorver um fóton.
Calcule a velocidade de um életron no nível
em função de
.
Calcule a velocidade de um életron no nível
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que, no modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio, um elétron salta de um nível de energia
para outro nível
absorvendo um fóton. A pergunta quer que calculemos a velocidade do elétron no nível
em função de
,
(constante de Coulomb),
(carga do elétron) e
(constante de Planck reduzida). Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos do modelo de Bohr, como a quantização do momento angular e o equilíbrio entre força centrípeta e força elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, segundo Bohr, o momento angular do elétron é quantizado. Isso significa que:
Aqui,
é a massa do elétron,
é a velocidade que queremos encontrar,
é o raio da órbita no nível
, e
é o número quântico principal.
Passo 3
Também sabemos que a força centrípeta que mantém o elétron na órbita é fornecida pela força de Coulomb entre o elétron e o próton no núcleo:
Onde
é a constante de Coulomb e
é a carga do elétron.
Passo 4
Vamos resolver a equação da força centrípeta para
:
Então, a velocidade
é:
Passo 5
Agora, vamos usar a equação do momento angular quantizado para substituir
. Da equação
, isolamos
:
Passo 6
Substituindo
na expressão de
, temos:
Passo 7
Agora, vamos isolar
. Elevando ambos os lados ao quadrado:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A velocidade do elétron no nível
é dada por: