Apesar de não funcionar para átomos com muitos elétrons, o modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio também pode ser aplicado para qualquer átomo com um único elétron. Considere um átomo de hélio ionizado He^+, de tal forma que este átomo tem dois prótons em seu núcleo, mas somente um elétron.
Quais seriam os comprimentos de onda equivalentes à série de Balmer para o He^+? Estes comprimentos de onda continuariam sendo visíveis para o olho humano?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o modelo de Bohr aplicado ao íon de hélio He^+. A gente precisa descobrir os comprimentos de onda que correspondem à série de Balmer para esse íon e ver se esses comprimentos ainda são visíveis para o olho humano. Para resolver isso, vamos usar o modelo de Bohr, que descreve os níveis de energia dos elétrons em átomos ou íons com um único elétron, e aplicar algumas fórmulas de física quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular os níveis de energia no modelo de Bohr. A fórmula é:
En = -13,6 , eV times Z^2n^2
Aqui, En é a energia no nível n, Z é o número de prótons no núcleo (para He^+, Z=2), e n é o número quântico principal (nível de energia).

Passo 3

A série de Balmer corresponde às transições dos elétrons para o nível n=2. Ou seja, um elétron pode pular de um nível superior, como n=3, n=4, etc., e cair para n=2, emitindo um fóton com energia correspondente à diferença entre esses níveis.

Passo 4

Vamos calcular a diferença de energia entre dois níveis qualquer, ni e nf=2, usando a f��rmula:
De
Substituindo Z=2 para o He^+:
De

Passo 5

Agora, para encontrar o comprimento de onda lambda do fóton emitido, usamos a relação entre energia e comprimento de onda:
E = hclambda
Onde:
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 , J·s),
  • c é a velocidade da luz ( 3,00 times 10^8 , m/s),
  • lambda é o comprimento de onda.
Resolvendo para lambda:
lambda = hcE
Como estamos trabalhando com energia em elétron-volts (eV), podemos usar a relação direta em unidades apropriadas:
lambda (nm) = 1240De

Passo 6

Vamos calcular alguns comprimentos de onda para diferentes transições na série de Balmer do He^+. Por exemplo, para ni=3:
De
Então,
lambda = 12407,57 approx 163,7 , nm

Passo 7

Para ni=4:
De
Então,
lambda = 124010,2 approx 121,6 , nm

Passo 8

E para ni=5:
De
Então,
lambda = 124011,42 approx 108,4 , nm

Passo 9

Observando os comprimentos de onda que calculamos ( approx 163,7 , nm, 121,6 , nm e 108,4 , nm), percebemos que eles estão todos na faixa do ultravioleta, que vai aproximadamente de 10 , nm a 400 , nm.

Resposta

Os comprimentos de onda da série de Balmer para o He^+ são aproximadamente 163,7 , nm, 121,6 , nm e 108,4 , nm. Como esses valores estão na faixa do ultravioleta, eles não seriam visíveis ao olho humano, que consegue enxergar luz na faixa visível de aproximadamente 400 , nm a 700 , nm.

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