Considere o modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio. Um elétron é excitado de um nível para um nível ao absorver um fóton.
A partir do resultado do item anterior e assumindo a hipótese de de Broglie, determine o comprimento de onda associado a um elétron no nível . Mostre que este comprimento de onda satisfaz , onde é o raio da órbita.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio, onde um elétron é excitado de um nível de energia para um nível maior ao absorver um fóton. A partir desse cenário e utilizando a hipótese de de Broglie, precisamos determinar o comprimento de onda associado a um elétron no nível e mostrar que esse comprimento de onda satisfaz , onde é o raio da órbita.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Modelo de Bohr: Explica o comportamento dos elétrons em átomos, especialmente no Hidrogênio, com órbitas quantizadas.
  • Hipótese de de Broglie: Propõe que partículas como elétrons têm propriedades de onda, com um comprimento de onda associado.
  • Relações Matemáticas: Fórmulas que relacionam energia, comprimento de onda e raios das órbitas.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio. Segundo Bohr, um elétron gira em órbitas circulares ao redor do núcleo com energia quantizada. O raio da órbita para o nível é dado por:
onde é o raio de Bohr, aproximadamente metros.

Passo 3

Segundo Bohr, a condição para órbitas estáveis é que o momento angular do elétron seja quantizado:
onde:
  • é a massa do elétron,
  • é a velocidade do elétron na órbita ,
  • é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Agora, aplicando a hipótese de de Broglie, que relaciona o comprimento de onda de uma partícula com sua quantidade de movimento:
onde:
  • é a constante de Planck,
  • é o momento linear da partícula, ou seja, .

Passo 5

Substituindo na equação de de Broglie:
Agora, usamos a condição de Bohr para . Isolando :

Passo 6

Substituindo na equação de :
Sabemos que , então substituindo:

Passo 7

Para o nível :

Resposta

Portanto, o comprimento de onda associado a um elétron no nível satisfaz .

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