Considere o modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio. Um elétron é excitado de um nível
para um nível
ao absorver um fóton.
A partir do resultado do item anterior e assumindo a hipótese de de Broglie, determine o comprimento de onda associado a um elétron no nível
. Mostre que este comprimento de onda satisfaz
, onde
é o raio da órbita.
A partir do resultado do item anterior e assumindo a hipótese de de Broglie, determine o comprimento de onda associado a um elétron no nível
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio, onde um elétron é excitado de um nível de energia
para um nível maior
ao absorver um fóton. A partir desse cenário e utilizando a hipótese de de Broglie, precisamos determinar o comprimento de onda associado a um elétron no nível
e mostrar que esse comprimento de onda satisfaz
, onde
é o raio da órbita.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
- Modelo de Bohr: Explica o comportamento dos elétrons em átomos, especialmente no Hidrogênio, com órbitas quantizadas.
- Hipótese de de Broglie: Propõe que partículas como elétrons têm propriedades de onda, com um comprimento de onda associado.
- Relações Matemáticas: Fórmulas que relacionam energia, comprimento de onda e raios das órbitas.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio. Segundo Bohr, um elétron gira em órbitas circulares ao redor do núcleo com energia quantizada. O raio da órbita para o nível
é dado por:
onde
é o raio de Bohr, aproximadamente
metros.
Passo 3
Segundo Bohr, a condição para órbitas estáveis é que o momento angular do elétron seja quantizado:
onde:
-
é a massa do elétron, -
é a velocidade do elétron na órbita , -
é a constante de Planck reduzida.
Passo 4
Agora, aplicando a hipótese de de Broglie, que relaciona o comprimento de onda
de uma partícula com sua quantidade de movimento:
onde:
-
é a constante de Planck, -
é o momento linear da partícula, ou seja, .
Passo 5
Substituindo
na equação de de Broglie:
Agora, usamos a condição de Bohr para
. Isolando
:
Passo 6
Substituindo
na equação de
:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 7
Para o nível
:
Resposta
Portanto, o comprimento de onda associado a um elétron no nível
satisfaz
.