Se aplica una fuerza electromotriz de 70 V a un circuito en serie en el que la resistencia es de 125 Ohm y la capacitancia de 0.03 F. Determine la carga del capacitor, si . Encuentre la corriente .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um circuito elétrico em série composto por um resistor (R) de 125 Ohm e um capacitor (C) de 0,03 Farad. Uma força eletromotriz (tensão) de 70 V é aplicada a esse circuito. Precisamos determinar:
1. A carga no capacitor ao longo do tempo, sabendo que inicialmente a carga .
2. A corrente no circuito ao longo do tempo.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de circuitos RC (Resistor-Capacitor) e as equações diferenciais que descrevem o comportamento da carga e da corrente nesse tipo de circuito.
Passo 2
Vamos começar determinando a carga no capacitor. Em um circuito RC em série, quando uma tensão constante é aplicada, a carga no capacitor ao longo do tempo é dada por:
**Explicação da Fórmula:**
- é a capacitância do capacitor.
- é a tensão aplicada.
- é a resistência.
- é o tempo.
- é a base do logaritmo natural.
- é a constante de tempo do circuito, que indica quão rápido o capacitor se carrega.
Essa equação mostra que, à medida que o tempo aumenta, a carga no capacitor se aproxima de .
Passo 3
Agora, vamos calcular a corrente no circuito. A corrente em um circuito RC em série é dada pela derivada da carga em relação ao tempo:
Substituindo a expressão de que encontramos:
**Explicação da Fórmula:**
- A derivada de em relação ao tempo nos dá a corrente .
- A corrente decresce exponencialmente ao longo do tempo, indicando que ela é maior no início e diminui à medida que o capacitor se carrega.
Resposta
A carga no capacitor ao longo do tempo é dada por:
Simplificando:
A corrente no circuito ao longo do tempo é:
Portanto, as soluções são:
e
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Dada la siguiente ecuación diferencial.
Resuelve la ecuación diferencial homogénea.
(0.3 puntos)
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(1)
Sea la región del plano encerrada entre las rectas
Evalúa
(0.5 puntos)
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(2)