Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(2) lim x 0 sin ^2(3 x)x^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Para isso, vamos usar conceitos de limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente a famosa regra .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite de forma que possamos aplicar a regra que mencionamos. Observe que:
sin^2(3x)x^2 = (sin(3x)x)^2

Passo 3

Agora, vamos manipular essa expressão para usar a regra (sin(3x)x)^2 = (sin(3x)3x cdot 3)^2 = 3^2 cdot (sin(3x)3x)^2 . Para isso, podemos multiplicar e dividir por 3 dentro da fração:

Passo 4

Sabemos que limx to 0 3^2 cdot (sin(3x)3x)^2 = 9 cdot 1^2 = 9 , então:

Resposta

limx to 0 sin^2(3x)x^2 = 9

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