Dada la siguiente ecuación diferencial.
Resuelve la ecuación diferencial homogénea.
(0.3 puntos)
Resuelve la ecuación diferencial homogénea.
(0.3 puntos)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial dada por
. Mas a pergunta quer que a gente resolva a equação diferencial homogênea associada a essa. Isso significa que vamos considerar apenas a parte homogênea da equação, que é
. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, precisamos resolver a equação homogênea
. Para isso, a gente começa encontrando a equação característica dessa equação diferencial. A equação característica é uma equação polinomial que nos ajuda a encontrar as soluções da equação diferencial.
A equação característica para
é:
Aqui, substituímos
por
e
por 1.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Encontramos raízes imaginárias
e
.
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes complexas da forma
, a soluç��o geral da equação diferencial homogênea é dada por:
No nosso caso,
e
, então a solução simplifica para:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial homogênea
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.