Dada la siguiente ecuación diferencial. y'' + y = cos^2(x)
Resuelve la ecuación diferencial homogénea.
(0.3 puntos)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial dada por . Mas a pergunta quer que a gente resolva a equação diferencial homogênea associada a essa. Isso significa que vamos considerar apenas a parte homogênea da equação, que é . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos resolver a equação homogênea . Para isso, a gente começa encontrando a equação característica dessa equação diferencial. A equação característica é uma equação polinomial que nos ajuda a encontrar as soluções da equação diferencial.
A equação característica para é:
Aqui, substituímos por e por 1.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Encontramos raízes imaginárias e .

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes complexas da forma , a soluç��o geral da equação diferencial homogênea é dada por:
No nosso caso, e , então a solução simplifica para:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

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