Sea D la región del plano x y encerrada entre las rectas y=2 x ; y=6 ; x=0
Evalúa integral duplaD x^2 e^x y d A
(0.5 puntos)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos a região no plano delimitada pelas retas , e . O objetivo é calcular a integral dupla . Para isso, vamos precisar usar integração em coordenadas cartesianas e entender como definir os limites de integração para a região .

Passo 2

Vamos desenhar as retas que delimitam a região :
  • : é uma reta que passa pela origem com inclinação 2.
  • : é uma reta horizontal que corta o eixo no ponto (0,6).
  • : é o eixo .
Isso forma um triângulo com vértices em (0,0), (0,6) e (3,6), já que quando , .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos em coordenadas cartesianas, escolhemos integrar primeiro em e depois em :
  • varia de 0 a 6.
  • Para cada , varia de 0 até (obtido da equação ).

Passo 4

A integral dupla fica:
integraly=0^6 integralx=0^y2 x^2 e^xy , dx , dy
Vamos começar integrando em relação a .

Passo 5

Vamos calcular a integral interna:
integral0^y2 x^2 e^xy , dx
Para resolver essa integral, usamos a substituição , mas neste caso, é mais fácil aplicar a integração por partes ou reconhecer que a integral envolve termos de multiplicados por uma função exponencial.

Passo 6

Após resolver a integral em , obteremos uma expressão em termos de . Em seguida, integramos essa expressão de a .

Passo 7

Após realizar ambas as integrações, chegamos ao valor final da integral dupla.

Resposta

O valor da integral dupla é .

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