Sea la región del plano encerrada entre las rectas
Evalúa
(0.5 puntos)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos a região no plano delimitada pelas retas , e . O objetivo é calcular a integral dupla . Para isso, vamos precisar usar integração em coordenadas cartesianas e entender como definir os limites de integração para a região .

Passo 2

Vamos desenhar as retas que delimitam a região :
  • : é uma reta que passa pela origem com inclinação 2.
  • : é uma reta horizontal que corta o eixo no ponto (0,6).
  • : é o eixo .
Isso forma um triângulo com vértices em (0,0), (0,6) e (3,6), já que quando , .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos em coordenadas cartesianas, escolhemos integrar primeiro em e depois em :
  • varia de 0 a 6.
  • Para cada , varia de 0 até (obtido da equação ).

Passo 4

A integral dupla fica:
Vamos começar integrando em relação a .

Passo 5

Vamos calcular a integral interna:
Para resolver essa integral, usamos a substituição , mas neste caso, é mais fácil aplicar a integração por partes ou reconhecer que a integral envolve termos de multiplicados por uma função exponencial.

Passo 6

Após resolver a integral em , obteremos uma expressão em termos de . Em seguida, integramos essa expressão de a .

Passo 7

Após realizar ambas as integrações, chegamos ao valor final da integral dupla.

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Se aplica una fuerza electromotriz de 70 V a un circuito en serie en el que la resistencia es de 125 Ohm y la capacitancia de 0.03 F. Determine la carga del capacitor, si . Encuentre la corriente .
Dada la siguiente ecuación diferencial.
Resuelve la ecuación diferencial homogénea.
(0.3 puntos)
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(2)
Decida se as sequencias abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3)]:
(u)