Sea
la región del plano
encerrada entre las rectas
Evalúa
(0.5 puntos)
Evalúa
(0.5 puntos)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos a região
no plano
delimitada pelas retas
,
e
. O objetivo é calcular a integral dupla
. Para isso, vamos precisar usar integração em coordenadas cartesianas e entender como definir os limites de integração para a região
.
Passo 2
Vamos desenhar as retas que delimitam a região
:
-
: é uma reta que passa pela origem com inclinação 2. -
: é uma reta horizontal que corta o eixo no ponto (0,6). -
: é o eixo .
Isso forma um triângulo com vértices em (0,0), (0,6) e (3,6), já que quando
,
dá
.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos em coordenadas cartesianas, escolhemos integrar primeiro em
e depois em
:
-
varia de 0 a 6. - Para cada
, varia de 0 até (obtido da equação ).
Passo 4
A integral dupla fica:
Vamos começar integrando em relação a
.
Passo 5
Vamos calcular a integral interna:
Para resolver essa integral, usamos a substituição
, mas neste caso, é mais fácil aplicar a integração por partes ou reconhecer que a integral envolve termos de
multiplicados por uma função exponencial.
Passo 6
Após resolver a integral em
, obteremos uma expressão em termos de
. Em seguida, integramos essa expressão de
a
.
Passo 7
Após realizar ambas as integrações, chegamos ao valor final da integral dupla.
Resposta
O valor da integral dupla
é
.