Se aplica una fuerza electromotriz de 85 V a un circuito en serie R C en el que la resistencia es de 140 Ohm y la capacitancia de 0.005 F. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0) = 0. Encuentre la corriente i(t).
(15 puntos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um circuito RC em série com uma força eletromotriz de 85 V, uma resistência de 140 Ohm e uma capacitância de 0,005 F. O que precisamos descobrir são duas coisas: a carga no capacitor ao longo do tempo e a corrente . Para isso, vamos usar conceitos de circuitos elétricos envolvendo resistores e capacitores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona um circuito RC em série. Quando a gente liga uma fonte de tensão em um circuito com resistor e capacitor em série, a carga no capacitor aumenta com o tempo até atingir um valor máximo. A corrente que passa pelo circuito diminui exponencialmente conforme o capacitor vai carregando.

Passo 3

A equação que descreve esse comportamento é baseada na Lei de Kirchhoff das Tensões, que diz que a soma das quedas de tensão no resistor e no capacitor é igual à tensão da fonte. Matematicamente, fica assim:
Onde:
  • é a força eletromotriz (85 V)
  • é a resistência (140 Ohm)
  • é a capacitância (0,005 F)
  • é a corrente no tempo
  • é a carga no capacitor no tempo

Passo 4

Sabemos também que a corrente é a derivada da carga em relação ao tempo:
Substituindo isso na equação anterior, temos:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver para encontrar .

Passo 6

A solução geral dessa equação diferencial é:
Onde:
  • é a capacitância
  • é a força eletromotriz
  • é a resistência
Substituindo os valores:

Passo 7

Calculando :
Então, a expressão fica:

Passo 8

Agora, para encontrar a corrente , usamos a relação:
Substituindo os valores:

Resposta

A carga no capacitor é dada por:
E a corrente no circuito é:

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(15 puntos)
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