Encuentra y clasifica los puntos críticos de la función: f(x, y) = x * y * e^(x + 2 * y)
(15 puntos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar e classificar os pontos críticos da função . Ponto crítico é onde as derivadas parciais da função são iguais a zero ou não existem. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e um pouco de cálculo para resolver o sistema de equações que vamos formar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos.
Como nunca é zero, podemos simplificar as equações:
Vamos resolver esse sistema:
  • Da primeira equação, ou ou (ou seja, ).
Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Então, um ponto crítico é .
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Então, outro ponto crítico é .

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, vamos usar a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais da função.
Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é então:
Vamos calcular o determinante da Hessiana ( ) para cada ponto crítico:
Para o ponto (0, 0):
Como , o ponto é um ponto de sela.
Para o ponto :
Quando , o teste é inconclusivo. Mas observando a função original, podemos ver que é um ponto crítico degenerado, que pode ser analisado mais a fundo, mas fora do escopo atual.

Resposta

Os pontos críticos da função são , que é um ponto de sela, e , que é um ponto crítico degenerado.

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