Encuentra y clasifica los puntos críticos de la función:
(15 puntos)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Ponto crítico é onde as derivadas parciais da função são iguais a zero ou não existem. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e um pouco de cálculo para resolver o sistema de equações que vamos formar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos.
Como
nunca é zero, podemos simplificar as equações:
Vamos resolver esse sistema:
- Da primeira equação, ou
ou (ou seja, ).
Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Então, um ponto crítico é
.
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Então, outro ponto crítico é
.
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, vamos usar a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais da função.
Primeiro, encontramos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é então:
Vamos calcular o determinante da Hessiana (
) para cada ponto crítico:
Para o ponto (0, 0):
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Para o ponto
:
Quando
, o teste é inconclusivo. Mas observando a função original, podemos ver que
é um ponto crítico degenerado, que pode ser analisado mais a fundo, mas fora do escopo atual.
Resposta
Os pontos críticos da função são
, que é um ponto de sela, e
, que é um ponto crítico degenerado.
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