A) Comprobar que f(x, y) no tiene límite en el punto (0;0). f(x, y) = { x*y / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }
(5 puntos)

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre limites de funções de duas variáveis. A questão pede para comprovar que a função não tem limite no ponto . Para isso, vamos precisar entender como os limites funcionam em funções de duas variáveis e analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho para nos aproximar de . Vamos tentar seguir a reta . Substituindo na função, temos:
Ao nos aproximarmos de ao longo dessa reta, o valor de tende a .

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho diferente. Vamos tentar seguir a reta . Substituindo na função, temos:
Ao nos aproximarmos de ao longo dessa reta, o valor de tende a .

Resposta

Como obtivemos limites diferentes ( e ) ao nos aproximarmos de por caminhos diferentes, concluímos que a função não possui limite no ponto .

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