B) ¿En qué dirección la derivada de la función f(x, y) = raiz(25 - x^2 - y^2) en el punto (1;2) es mínima y cuál es su valor?
(10 puntos)

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para encontrarmos em que direção a derivada da função no ponto (1, 2) é mínima, além de determinar qual é esse valor mínimo. Vamos usar cálculo de derivadas parciais e vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e suas componentes são as derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (1, 2):

Passo 5

Então, o gradiente no ponto (1, 2) é:
Esse vetor nos dá a direção de maior aumento da função. Mas a questão quer a direção onde a derivada é mínima.

Passo 6

A derivada direcional em uma direção qualquer é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor direção:
Para encontrar a mínima derivada, queremos minimizar esse produto escalar.

Passo 7

Observamos que o valor mínimo ocorre quando é na direção oposta ao gradiente. Então, a direção onde a derivada é mínima é:

Passo 8

Vamos calcular a norma do gradiente:

Passo 9

Então, a direção de mínima derivada é:

Passo 10

Finalmente, o valor da mínima derivada é o produto escalar do gradiente com :

Resposta

A derivada da função no ponto (1, 2) é mínima na direção e o valor dessa derivada mínima é .

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