B) ¿En qué dirección la derivada de la función
en el punto (1;2) es mínima y cuál es su valor?
(10 puntos)
(10 puntos)
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para encontrarmos em que direção a derivada da função
no ponto (1, 2) é mínima, além de determinar qual é esse valor mínimo. Vamos usar cálculo de derivadas parciais e vetores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e suas componentes são as derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (1, 2):
Passo 5
Então, o gradiente no ponto (1, 2) é:
Esse vetor nos dá a direção de maior aumento da função. Mas a questão quer a direção onde a derivada é mínima.
Passo 6
A derivada direcional em uma direção qualquer
é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor direção:
Para encontrar a mínima derivada, queremos minimizar esse produto escalar.
Passo 7
Observamos que o valor mínimo ocorre quando
é na direção oposta ao gradiente. Então, a direção onde a derivada é mínima é:
Passo 8
Vamos calcular a norma do gradiente:
Passo 9
Então, a direção de mínima derivada é:
Passo 10
Finalmente, o valor da mínima derivada é o produto escalar do gradiente com
:
Resposta
A derivada da função
no ponto (1, 2) é mínima na direção
e o valor dessa derivada mínima é
.