Na comercialização de um componente químico líquido utilizado na fabricação de sabão e detergentes, a receita
para a venda da quantidade
é dada por
, em que a receita é dada em reais e a quantidade é dada em litros. Use a definição de derivada para calcular a taxa de variação instantânea para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma receita
, que mostra quanto a empresa ganha vendendo
litros de um componente químico. O que precisamos fazer é calcular a taxa de variação instantânea dessa receita quando
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que basicamente nos mostra como uma função muda em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite da taxa de variação média quando o intervalo de variação (
) se aproxima de zero. Matematicamente, isso é expresso assim:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para encontrar a derivada de
no ponto
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão do limite:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão:
Então, o limite fica:
Resposta
A taxa de variação instantânea da receita quando
é igual a 6 reais por litro.