Na comercialização de um componente químico líquido utilizado na fabricação de sabão e detergentes, a receita R para a venda da quantidade x é dada por R(x) = x^2 + 2x + 1, em que a receita é dada em reais e a quantidade é dada em litros. Use a definição de derivada para calcular a taxa de variação instantânea para x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma receita , que mostra quanto a empresa ganha vendendo litros de um componente químico. O que precisamos fazer é calcular a taxa de variação instantânea dessa receita quando . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que basicamente nos mostra como uma função muda em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação média quando o intervalo de variação ( ) se aproxima de zero. Matematicamente, isso é expresso assim:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para encontrar a derivada de no ponto . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Vamos calcular e :

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão do limite:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão:
Então, o limite fica:

Resposta

A taxa de variação instantânea da receita quando é igual a 6 reais por litro.

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