Aplicação: Circuito em série
b) Classifique e resolva a equação diferencial obtida no item anterior sabendo que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar e resolver uma equação diferencial que surgiu num circuito RLC em série. Então, estamos lidando com eletricidade e circuitos, especificamente com resistores ®, indutores (L) e capacitores © conectados em série. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar e resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem, além de aplicar as condições iniciais fornecidas: e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação diferencial de um circuito RLC em série. A soma das quedas de tensão no resistor, indutor e capacitor é igual à tensão total aplicada. Se considerarmos que a tensão total é zero (resposta livre), a equação fica:
Aqui, é a carga no capacitor no tempo , e é a corrente.

Passo 3

Agora, vamos classificar essa equação diferencial. Ela é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Isso significa que podemos resolver usando a equação característica.
A equação característica associada é:
Vamos resolver essa quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Vamos resolver a equação característica:
Dependendo do discriminante ( ), teremos três casos:
  1. Discriminante positivo ( ): Soluções reais e distintas, circuito superamortecido.
  2. Discriminante zero ( ): Soluções reais e iguais, circuito criticamente amortecido.
  3. Discriminante negativo ( ): Soluções complexas conjugadas, circuito subamortecido.

Passo 5

Vamos supor que estamos no caso subamortecido ( ), que é comum. Nesse caso, podemos escrever as raízes como:
onde:
A solução geral da equação diferencial é então:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Vamos derivar :
Com :
Como , então .

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais e é:
Isso significa que, com as condições iniciais dadas, não há carga acumulada no capacitor nem corrente no circuito ao longo do tempo.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes inequações
a)
Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
j)
Prove as seguintes propriedades
b)
Seja e .
Calcule .