Aplicação: Circuito R L C em série
b) Classifique e resolva a equação diferencial obtida no item anterior sabendo que i(0) = 0 = q(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar e resolver uma equação diferencial que surgiu num circuito RLC em série. Então, estamos lidando com eletricidade e circuitos, especificamente com resistores ®, indutores (L) e capacitores © conectados em série. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar e resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem, além de aplicar as condições iniciais fornecidas: e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação diferencial de um circuito RLC em série. A soma das quedas de tensão no resistor, indutor e capacitor é igual à tensão total aplicada. Se considerarmos que a tensão total é zero (resposta livre), a equação fica:
Aqui, é a carga no capacitor no tempo , e é a corrente.

Passo 3

Agora, vamos classificar essa equação diferencial. Ela é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Isso significa que podemos resolver usando a equação característica.
A equação característica associada é:
Vamos resolver essa quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Vamos resolver a equação característica:
Dependendo do discriminante ( ), teremos três casos:
  1. Discriminante positivo ( ): Soluções reais e distintas, circuito superamortecido.
  2. Discriminante zero ( ): Soluções reais e iguais, circuito criticamente amortecido.
  3. Discriminante negativo ( ): Soluções complexas conjugadas, circuito subamortecido.

Passo 5

Vamos supor que estamos no caso subamortecido ( ), que é comum. Nesse caso, podemos escrever as raízes como:
onde:
A solução geral da equação diferencial é então:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Vamos derivar :
Com :
Como , então .

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais e é:
Isso significa que, com as condições iniciais dadas, não há carga acumulada no capacitor nem corrente no circuito ao longo do tempo.

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