Resolva as seguintes inequações
a)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a inequação . Aqui estamos trabalhando com valores absolutos e precisamos encontrar os valores de que satisfazem essa inequação. Para resolver, vamos dividir o problema em diferentes intervalos de onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal.

Passo 2

Identificamos os pontos críticos onde as expressões dentro dos valores absolutos são zero. No caso, quando e quando . Esses valores dividem a linha dos números em três intervalos:
Vamos resolver a inequação em cada um desses intervalos.

Passo 3

Intervalo 1:
Aqui, tanto quanto são negativos. Então:
Substituindo na inequação:
Simplificando:
O discriminante dessa equação quadrática é , que é negativo. Isso significa que é sempre positivo, então não há solução nesse intervalo.

Passo 4

Intervalo 2:
Neste intervalo, é positivo, mas é negativo. Assim:
Substituindo na inequação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por -1 (e invertendo a inequação):
Resolvendo a inequação quadrática, encontramos as raízes:
A solução é dentro do intervalo considerado. Aproximadamente, isso dá .

Passo 5

Intervalo 3:
Aqui, tanto quanto são positivos:
Substituindo na inequação:
Simplificando:
Multiplicando por -1 (invertendo a inequação):
O discriminante é , negativo, então �� sempre positivo. Portanto, a inequação é válida para todo .

Resposta

A solução da inequação é todos os números reais tais que . Aproximadamente, .

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Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
j)
Aplicação: Lei de Newton do resfriamento: A temperatura superficial de um objeto varia em uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do meio. Sendo a temperatura no tempo e a temperatura ambiente, constante, pede-se:
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b) Classifique e resolva a equação diferencial obtida no item anterior sabendo que .
Prove as seguintes propriedades
b)