Seja e .
Calcule .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e um ponto específico . O que precisamos calcular é o módulo do gradiente dessa função no ponto , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , formando o gradiente, e depois encontrar o módulo desse vetor.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , que é representada por . Aplicando as regras de derivação, temos:
Usando a regra do produto, derivamos e separadamente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , representada por :
Aqui, é tratado como constante em relação a , então:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o vetor gradiente :

Passo 5

Vamos calcular o gradiente no ponto . Substituindo e na expressão do gradiente:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o módulo do vetor gradiente . O módulo de um vetor é dado por:
Para :

Resposta

O módulo do gradiente no ponto é .

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Prove as seguintes propriedades
b)
Aplicação: Circuito em série
b) Classifique e resolva a equação diferencial obtida no item anterior sabendo que .
Determine para quais valores de 0 ) pode-se afirmar: se e , então .
Seja e . Calcule , onde é um vetor unitário que forma um ângulo com .