Prove as seguintes propriedades
b)

Passo 1

Então, a gente vai provar que para todos os números reais e , o valor absoluto do produto deles é igual ao produto dos valores absolutos deles, ou seja, . A gente vai usar conceitos básicos de valor absoluto e propriedades de números reais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O valor absoluto de um número é a sua distância até zero na reta dos números reais, sem considerar se é positivo ou negativo. Por exemplo, e .

Passo 3

Agora, vamos considerar os diferentes casos possíveis para os sinais de e . Como e são reais, cada um pode ser positivo ou negativo. A gente vai analisar todas as combinações:
  1. Ambos positivos: Se e , então e . O produto também é positivo, então .
  2. positivo e negativo: Se e , então e . O produto será negativo, então .
  3. negativo e positivo: Se e , então e . O produto será negativo, então .
  4. Ambos negativos: Se e , então e . O produto será positivo, então .

Passo 4

Em todos os casos, vimos que é igual a . Isso acontece porque o valor absoluto “ignora” os sinais negativos, garantindo que o produto dos valores absolutos sempre seja positivo, assim como o valor absoluto do produto.

Resposta

Portanto, provamos que para todos os números reais e .

Exercícios relacionados

Aplicação: Circuito em série
b) Classifique e resolva a equação diferencial obtida no item anterior sabendo que .
Resolva as seguintes inequações
a)
Seja e .
Calcule .
Determine para quais valores de 0 ) pode-se afirmar: se e , então .