Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
j)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto e precisamos encontrar o ínfimo e o supremo desse conjunto. Isso faz parte do estudo de ordem em conjuntos numéricos, onde o supremo é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto, e o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos. Para resolver isso, vamos analisar como os valores de e influenciam os termos do conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes da expressão :
  1. :
    • Quando é par, é positivo e igual a .
    • Quando é ímpar, é negativo e igual a .
    • À medida que aumenta, fica menor, aproximando-se de 0.
  2. :
    • Como pertence a (números naturais positivos), .
    • À medida que aumenta, diminui, também aproximando-se de 0.

Passo 3

Vamos analisar todos os possíveis valores de :
  • Para :
    • .
    • Então, .
    • O menor valor ocorre quando : .
    • À medida que aumenta, esse valor se aproxima de .
  • Para :
    • .
    • Então, .
    • O maior valor ocorre quando aumenta (aproximando-se de 0): .
    • O menor valor ocorre quando : .
  • Para :
    • .
    • Então, .
    • O menor valor ocorre quando : .
    • À medida que aumenta, o valor se aproxima de .
Podemos ver um padr��o: os valores negativos mais baixos ocorrem quando é ímpar e , e os valores positivos chegam até quando é par e aumenta.

Passo 4

Encontrando o Supremo ( ):
  • Observamos que o maior valor ocorre quando é par e tende ao infinito.
  • Para e grande, se aproxima de .
  • Como aumenta, diminui, tornando o maior valor possível.
  • Portanto, .
Encontrando o Ínfimo ( ):
  • O menor valor ocorre quando é ímpar e .
  • Para e , temos .
  • Mesmo que para maior e ímpar, o valor se aproxime de , é menor que .
  • Portanto, .

Resposta

O supremo de é e o ínfimo de é .

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c) Em um dia em que a temperatura ambiente é de , uma garçonete nos traz uma xícara de café, a uma temperatura . Um minuto mais tarde (tempo suficiente para beber um copo de água mineral com gás) a temperatura já diminuiu para . Qual é o período de tempo decorrido até que a temperatura atinja ?
Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
e)
Resolva as seguintes inequações
a)
Aplicação: Circuito em série
b) Classifique e resolva a equação diferencial obtida no item anterior sabendo que .