Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
j)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto e precisamos encontrar o ínfimo e o supremo desse conjunto. Isso faz parte do estudo de ordem em conjuntos numéricos, onde o supremo é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto, e o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos. Para resolver isso, vamos analisar como os valores de e influenciam os termos do conjunto .
Passo 2
Primeiro, vamos entender os componentes da expressão :
:
Quando é par, é positivo e igual a .
Quando é ímpar, é negativo e igual a .
À medida que aumenta, fica menor, aproximando-se de 0.
:
Como pertence a (números naturais positivos), .
À medida que aumenta, diminui, também aproximando-se de 0.
Passo 3
Vamos analisar todos os possíveis valores de :
Para :
.
Então, .
O menor valor ocorre quando : .
À medida que aumenta, esse valor se aproxima de .
Para :
.
Então, .
O maior valor ocorre quando aumenta (aproximando-se de 0): .
O menor valor ocorre quando : .
Para :
.
Então, .
O menor valor ocorre quando : .
À medida que aumenta, o valor se aproxima de .
Podemos ver um padr��o: os valores negativos mais baixos ocorrem quando é ímpar e , e os valores positivos chegam até quando é par e aumenta.
Passo 4
Encontrando o Supremo ():
Observamos que o maior valor ocorre quando é par e tende ao infinito.
Para e grande, se aproxima de .
Como aumenta, diminui, tornando o maior valor possível.
Portanto, .
Encontrando o Ínfimo ():
O menor valor ocorre quando é ímpar e .
Para e , temos .
Mesmo que para maior e ímpar, o valor se aproxime de , é menor que .