Aplicação: Crescimento Populacional: Sabendo que o crescimento da população de uma determinada colônia de bactérias é proporcional à população já existente pede-se:
a) A equação diferencial que descreve a taxa de variação do número de indivíduos, , em relação ao tempo, .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma colônia de bactérias cujo crescimento é proporcional à quantidade de bactérias que já existe. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação diferencial que descreve como o número de bactérias, representado por , muda ao longo do tempo . Para isso, vamos precisar entender o conceito de proporcionalidade no contexto de taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que o crescimento é proporcional à população existente. Isso quer dizer que a taxa de crescimento das bactérias depende diretamente da quantidade atual delas. Matemáticamente, podemos expressar isso como:
Aqui, representa a derivada de em relação ao tempo, ou seja, a taxa de variação do número de bactérias.

Passo 3

Quando temos duas grandezas proporcionais, podemos introduzir uma constante de proporcionalidade para relacioná-las. Nesse caso, vamos chamar essa constante de . Assim, a relação fica:
Essa é a equação diferencial que descreve a taxa de variação da população de bactérias em função do tempo.

Resposta

A equação diferencial que descreve a taxa de variação do número de indivíduos em relação ao tempo é:
onde é a constante de proporcionalidade que representa a taxa de crescimento da população.

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(d) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
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a) A ED que descreve a taxa de variação da massa, , em relação ao tempo.
Resolva as equações diferenciais
a)