Verifique se a função dada é diferenciável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a função é diferenciável. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e a ideia de continuidade dessas derivadas para determinar a diferenciabilidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela tiver todas as derivadas parciais nesse ponto e essas derivadas forem contínuas perto desse ponto.
Então, nosso primeiro passo é calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos começar com a derivada parcial de em relação a :
Observamos que a expressão dentro do logaritmo não depende de , então a derivada é zero:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas. Olhando para , vemos que o denominador nunca é zero, pois é sempre positivo e também é positivo.
Isso significa que é contínua para todos os valores de . E a derivada em relação a é simplesmente zero, que também é uma função contínua.

Resposta

Sim, a função é diferenciável para todos os valores de e .

Exercícios relacionados

Considere a função . Determine:
(d) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
Mostre que a função abaixo não é diferenciável no ponto .
Aplicação: Crescimento Populacional: Sabendo que o crescimento da população de uma determinada colônia de bactérias é proporcional à população já existente pede-se:
a) A equação diferencial que descreve a taxa de variação do número de indivíduos, , em relação ao tempo, .
Aplicação: Decaimento Radioativo:
Sabendo que o decaimento radioativo da massa do urânio é proporcional à sua massa remanescente pede-se:
a) A ED que descreve a taxa de variação da massa, , em relação ao tempo.