Verifique se a função dada é diferenciável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a função
é diferenciável. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e a ideia de continuidade dessas derivadas para determinar a diferenciabilidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela tiver todas as derivadas parciais nesse ponto e essas derivadas forem contínuas perto desse ponto.
Então, nosso primeiro passo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos começar com a derivada parcial de
em relação a
:
Observamos que a expressão dentro do logaritmo não depende de
, então a derivada é zero:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas. Olhando para
, vemos que o denominador
nunca é zero, pois
é sempre positivo e
também é positivo.
Isso significa que
é contínua para todos os valores de
. E a derivada em relação a
é simplesmente zero, que também é uma função contínua.
Resposta
Sim, a função
é diferenciável para todos os valores de
e
.
Exercícios relacionados
Considere a função
. Determine:
(d) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
(d) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
Mostre que a função abaixo não é diferenciável no ponto
.
Aplicação: Crescimento Populacional: Sabendo que o crescimento da população de uma determinada colônia de bactérias é proporcional à população já existente pede-se:
a) A equação diferencial que descreve a taxa de variação do número de indivíduos, , em relação ao tempo,
.
a) A equação diferencial que descreve a taxa de variação do número de indivíduos,
Aplicação: Decaimento Radioativo:
Sabendo que o decaimento radioativo da massa do urânio é proporcional à sua massa remanescente pede-se:
a) A ED que descreve a taxa de variação da massa, , em relação ao tempo.
Sabendo que o decaimento radioativo da massa do urânio é proporcional à sua massa remanescente pede-se:
a) A ED que descreve a taxa de variação da massa,