Verifique se a função dada é diferenciável.
f(x, y) = ln(1 + c^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a função é diferenciável. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e a ideia de continuidade dessas derivadas para determinar a diferenciabilidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela tiver todas as derivadas parciais nesse ponto e essas derivadas forem contínuas perto desse ponto.
Então, nosso primeiro passo é calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos começar com a derivada parcial de em relação a :
Observamos que a expressão dentro do logaritmo não depende de , então a derivada é zero:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas. Olhando para , vemos que o denominador nunca é zero, pois é sempre positivo e também é positivo.
Isso significa que é contínua para todos os valores de . E a derivada em relação a é simplesmente zero, que também é uma função contínua.

Resposta

Sim, a função é diferenciável para todos os valores de e .

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