Aplicação: Decaimento Radioativo:
Sabendo que o decaimento radioativo da massa do urânio é proporcional à sua massa remanescente pede-se:
a) A ED que descreve a taxa de variação da massa,
, em relação ao tempo.
Sabendo que o decaimento radioativo da massa do urânio é proporcional à sua massa remanescente pede-se:
a) A ED que descreve a taxa de variação da massa,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre decaimento radioativo, especificamente do urânio. A ideia é que a quantidade de urânio que resta diminui com o tempo de forma proporcional à quantidade que ainda temos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais que descrevem como uma quantidade muda ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de variação da massa,
, em relação ao tempo. Isso quer dizer como a massa de urânio está diminuindo à medida que o tempo passa. No decaimento radioativo, a taxa de perda de massa é proporcional à massa que ainda temos. Proporcional significa que se tivermos o dobro de urânio, a taxa de decaimento também será o dobro.
Passo 3
Vamos traduzir isso para uma equação matemática. Se a taxa de variação da massa
é proporcional à massa
, podemos escrever:
Aqui,
é uma constante de proporcionalidade. No contexto de decaimento radioativo, essa constante é negativa porque a massa está diminuindo com o tempo.
Passo 4
Como mencionamos que a massa está diminuindo, a equação fica:
Essa é a equação diferencial que descreve como a massa de urânio muda ao longo do tempo no processo de decaimento radioativo.
Resposta
A equação diferencial que descreve a taxa de variação da massa de urânio em relação ao tempo é:
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a) A equação diferencial que descreve a taxa de variação do número de indivíduos, , em relação ao tempo,
.
a) A equação diferencial que descreve a taxa de variação do número de indivíduos,
Verifique se a função dada é diferenciável.
Resolva as equações diferenciais
a)
a)