Aplicação: Decaimento Radioativo:
Sabendo que o decaimento radioativo da massa do urânio é proporcional à sua massa remanescente pede-se:
a) A ED que descreve a taxa de variação da massa, , em relação ao tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre decaimento radioativo, especificamente do urânio. A ideia é que a quantidade de urânio que resta diminui com o tempo de forma proporcional à quantidade que ainda temos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais que descrevem como uma quantidade muda ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de variação da massa, , em relação ao tempo. Isso quer dizer como a massa de urânio está diminuindo à medida que o tempo passa. No decaimento radioativo, a taxa de perda de massa é proporcional à massa que ainda temos. Proporcional significa que se tivermos o dobro de urânio, a taxa de decaimento também será o dobro.

Passo 3

Vamos traduzir isso para uma equação matemática. Se a taxa de variação da massa é proporcional à massa , podemos escrever:
Aqui, é uma constante de proporcionalidade. No contexto de decaimento radioativo, essa constante é negativa porque a massa está diminuindo com o tempo.

Passo 4

Como mencionamos que a massa está diminuindo, a equação fica:
Essa é a equação diferencial que descreve como a massa de urânio muda ao longo do tempo no processo de decaimento radioativo.

Resposta

A equação diferencial que descreve a taxa de variação da massa de urânio em relação ao tempo é:

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Aplicação: Crescimento Populacional: Sabendo que o crescimento da população de uma determinada colônia de bactérias é proporcional à população já existente pede-se:
a) A equação diferencial que descreve a taxa de variação do número de indivíduos, , em relação ao tempo, .
Verifique se a função dada é diferenciável.
Resolva as equações diferenciais
a)
para .