Resolva as equações diferenciais
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem que envolvem funções trigonométricas. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar técnicas de substituição para simplificar e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir uma nova variável como a soma de e :
Isso nos ajuda a transformar a equação original em uma forma mais manejável.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Usando a regra da derivada:
Como é o mesmo que , podemos substituir na equação:

Passo 4

Sabemos pela equação original que . Vamos substituir isso na expressão que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora temos uma equação diferencial mais simples:
Vamos separar as variáveis para facilitar a integração:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
A integral de em relação a é , e a integral de é , onde é a constante de integração:

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição , vamos voltar para as variáveis originais:
Essa é a solução implícita da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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Aplicação: Decaimento Radioativo:
Sabendo que o decaimento radioativo da massa do urânio é proporcional à sua massa remanescente pede-se:
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para .
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c) Calcule e interprete e no limite . Estes resultados condizem com sua intuição?