Resolva as equações diferenciais
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem que envolvem funções trigonométricas. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar técnicas de substituição para simplificar e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir uma nova variável
como a soma de
e
:
Isso nos ajuda a transformar a equação original em uma forma mais manejável.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Usando a regra da derivada:
Como
é o mesmo que
, podemos substituir na equação:
Passo 4
Sabemos pela equação original que
. Vamos substituir isso na expressão que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora temos uma equação diferencial mais simples:
Vamos separar as variáveis para facilitar a integração:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
é
, onde
é a constante de integração:
Passo 7
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos voltar para as variáveis originais:
Essa é a solução implícita da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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.
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c) Calcule e interprete e
no limite
. Estes resultados condizem com sua intuição?
c) Calcule e interprete