Considere a função . Determine:
(d) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da função . Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas para analisar a concavidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e analisar onde ela é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . Usamos a regra do quociente que diz que se , então:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Aplicando a regra:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade. Vamos derivar :
Usamos novamente a regra do quociente:
Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, fatorar:
Simplificando ainda mais:
Finalmente:

Passo 4

Agora que temos a segunda derivada, , vamos analisar onde ela é positiva ou negativa:
  • Concavidade para cima:
  • Concavidade para baixo:
Vamos verificar os sinais:
  1. Numerador :
    • é sempre positivo.
    • O sinal do numerador depende de , ou seja, de .
  2. Denominador :
    • , então:
      • Para , , logo o denominador é positivo.
      • Para , , e como é ao cubo, o denominador fica negativo.
Então, resumindo:
  • Para :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • → Concavidade para cima.
  • Para :
    • Numerador: depende de x:
      • : positivo.
      • : negativo.
    • Denominador:
    • Então:
      • : → Concavidade para baixo.
      • : → Concavidade para cima.
  • Para :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • → Concavidade para baixo.

Passo 5

Para encontrar os pontos de inflexão, buscamos onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Isso ocorre onde ou não está definida, desde que haja mudança de concavidade.
Analisando :
  • quando o numerador é zero:
  • A segunda derivada não está definida para , mas nesses pontos a função também não está definida, então não consideramos pontos de inflexão aqui.
Agora, verificamos se há mudança de concavidade em :
  • À esquerda de 0 ( ): → Concavidade para cima.
  • À direita de 0 ( ): → Concavidade para baixo.
Como há mudança de concavidade passando por , temos um ponto de inflexão em .

Resposta

A função é:
  • Concava para cima nos intervalos e .
  • Concava para baixo nos intervalos e .
Há um ponto de inflexão em .

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Considere a função . Determine:
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