Considere a função
. Determine:
(d) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
(d) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da função
. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas para analisar a concavidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e analisar onde ela é positiva ou negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. Usamos a regra do quociente que diz que se
, então:
Aqui,
e
. Calculando as derivadas:
Aplicando a regra:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
para analisar a concavidade. Vamos derivar
:
Usamos novamente a regra do quociente:
Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, fatorar:
Simplificando ainda mais:
Finalmente:
Passo 4
Agora que temos a segunda derivada,
, vamos analisar onde ela é positiva ou negativa:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
Vamos verificar os sinais:
-
Numerador
: -
é sempre positivo. - O sinal do numerador depende de
, ou seja, de .
-
-
Denominador
: -
, então: - Para
, , logo o denominador é positivo. - Para
, , e como é ao cubo, o denominador fica negativo.
- Para
-
Então, resumindo:
-
Para
: - Numerador:
- Denominador:
-
→ Concavidade para cima.
- Numerador:
-
Para
: - Numerador:
depende de x: -
: positivo. -
: negativo.
-
- Denominador:
- Então:
-
: → Concavidade para baixo. -
: → Concavidade para cima.
-
- Numerador:
-
Para
: - Numerador:
- Denominador:
-
→ Concavidade para baixo.
- Numerador:
Passo 5
Para encontrar os pontos de inflexão, buscamos onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Isso ocorre onde
ou não está definida, desde que haja mudança de concavidade.
Analisando
:
-
quando o numerador é zero: - A segunda derivada não está definida para
, mas nesses pontos a função também não está definida, então não consideramos pontos de inflexão aqui.
Agora, verificamos se há mudança de concavidade em
:
- À esquerda de 0 (
): → Concavidade para cima. - À direita de 0 (
): → Concavidade para baixo.
Como há mudança de concavidade passando por
, temos um ponto de inflexão em
.
Resposta
A função
é:
- Concava para cima nos intervalos
e . - Concava para baixo nos intervalos
e .
Há um ponto de inflexão em
.
Exercícios relacionados
Mostre que a função abaixo não é diferenciável no ponto
.
Considere a função
. Determine:
© Intervalos de crescimento, decrescimento e pontos de máximo e mínimo local;
© Intervalos de crescimento, decrescimento e pontos de máximo e mínimo local;
Verifique se a função dada é diferenciável.
Aplicação: Crescimento Populacional: Sabendo que o crescimento da população de uma determinada colônia de bactérias é proporcional à população já existente pede-se:
a) A equação diferencial que descreve a taxa de variação do número de indivíduos, , em relação ao tempo,
.
a) A equação diferencial que descreve a taxa de variação do número de indivíduos,