Aplicação: Decaimento Radioativo:
b) Sabendo que a massa inicial de urânio era de 8,155 Kg e que m(1)=3 Kg, determine a equação que descreve a massa em função do tempo e analise o limite lim t infty m(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a massa inicial de urânio é de 8,155, kg e que, após 1 unidade de tempo, a massa restante é de 3, kg. A matéria envolvida aqui é Decaimento Radioativo, que trata de como substâncias radioativas diminuem ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do decaimento exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula básica do decaimento radioativo:
m(t) = m0 cdot e^-kt
Aqui:
  • m(t) é a massa restante após o tempo t.
  • m0 é a massa inicial.
  • k é a constante de decaimento.
  • e é a base dos logaritmos naturais.
Nosso objetivo é encontrar a equação que descreve a massa em função do tempo, ou seja, determinar k e montar m(t).

Passo 3

Sabemos que quando t = 1, a massa m(1) = 3, kg. Vamos substituir esses valores na fórmula:
3 = 8,155 cdot e^-k cdot 1
Agora, precisamos resolver para k.

Passo 4

Vamos isolar e^-k:
e^-k = 38,155
e^-k approx 0,3679
Para encontrar k, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
- k = ln(0,3679)
- k approx -1
Portanto,
k approx 1

Passo 5

Agora que temos o valor de k, podemos escrever a equação completa do decaimento:
m(t) = 8,155 cdot e^-1 cdot t
Ou simplificando:
m(t) = 8,155 cdot e^-t

Passo 6

Por último, vamos analisar o limite lim t infty m(t). Isso significa olhar o que acontece com a massa conforme o tempo tende ao infinito.
Substituindo na equação:
lim t infty 8,155 cdot e^-t = 8,155 cdot 0 = 0
Isso mostra que, com o passar do tempo, a massa de urânio se aproxima de zero.

Resposta

A equação que descreve a massa em função do tempo é:
m(t) = 8,155 cdot e^-t
E o limite quando t tende ao infinito é:
lim t infty m(t) = 0

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