Aplicação: Decaimento Radioativo:
b) Sabendo que a massa inicial de urânio era de
e que
, determine a equação que descreve a massa em função do tempo e analise o limite
.
b) Sabendo que a massa inicial de urânio era de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a massa inicial de urânio é de
e que, após 1 unidade de tempo, a massa restante é de
. A matéria envolvida aqui é Decaimento Radioativo, que trata de como substâncias radioativas diminuem ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do decaimento exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula básica do decaimento radioativo:
Aqui:
-
é a massa restante após o tempo . -
é a massa inicial. -
é a constante de decaimento. -
é a base dos logaritmos naturais.
Nosso objetivo é encontrar a equação que descreve a massa em função do tempo, ou seja, determinar
e montar
.
Passo 3
Sabemos que quando
, a massa
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Agora, precisamos resolver para
.
Passo 4
Vamos isolar
:
Para encontrar
, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
Portanto,
Passo 5
Agora que temos o valor de
, podemos escrever a equação completa do decaimento:
Ou simplificando:
Passo 6
Por último, vamos analisar o limite
. Isso significa olhar o que acontece com a massa conforme o tempo tende ao infinito.
Substituindo na equação:
Isso mostra que, com o passar do tempo, a massa de urânio se aproxima de zero.
Resposta
A equação que descreve a massa em função do tempo é:
E o limite quando
tende ao infinito é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Resolva em
as seguintes inequações
d)
d)
Dada uma constante
, e um número real
qualquer, mostre que para todo
,
c)
c)
Determine
de modo que a equação diferencial
seja do tipo homogêneo. Para estes valores de
determine a solução.