Aplicação: Decaimento Radioativo:
b) Sabendo que a massa inicial de urânio era de e que , determine a equação que descreve a massa em função do tempo e analise o limite .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a massa inicial de urânio é de e que, após 1 unidade de tempo, a massa restante é de . A matéria envolvida aqui é Decaimento Radioativo, que trata de como substâncias radioativas diminuem ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do decaimento exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula básica do decaimento radioativo:
Aqui:
  • é a massa restante após o tempo .
  • é a massa inicial.
  • é a constante de decaimento.
  • é a base dos logaritmos naturais.
Nosso objetivo é encontrar a equação que descreve a massa em função do tempo, ou seja, determinar e montar .

Passo 3

Sabemos que quando , a massa . Vamos substituir esses valores na fórmula:
Agora, precisamos resolver para .

Passo 4

Vamos isolar :
Para encontrar , vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
Portanto,

Passo 5

Agora que temos o valor de , podemos escrever a equação completa do decaimento:
Ou simplificando:

Passo 6

Por último, vamos analisar o limite . Isso significa olhar o que acontece com a massa conforme o tempo tende ao infinito.
Substituindo na equação:
Isso mostra que, com o passar do tempo, a massa de urânio se aproxima de zero.

Resposta

A equação que descreve a massa em função do tempo é:
E o limite quando tende ao infinito é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Resolva em as seguintes inequações
d)
Dada uma constante , e um número real qualquer, mostre que para todo ,
c)
Determine de modo que a equação diferencial
seja do tipo homogêneo. Para estes valores de determine a solução.