Dada uma constante
, e um número real
qualquer, mostre que para todo
,
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que para qualquer número real
e uma constante positiva
, a seguinte equivalência é verdadeira:
Basicamente, precisamos entender como o valor absoluto de
se relaciona com
. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o valor absoluto. O valor absoluto de
, escrito como
, representa a distância de
até zero na reta numérica, sempre sendo um número não negativo. Então,
quer dizer que
está a pelo menos uma distância
de zero.
Passo 3
Agora, vamos interpretar a parte direita da equivalência:
. O símbolo
significa “ou”. Então, isso diz que
é menor ou igual a
ou maior ou igual a
. Em outras palavras,
está a pelo menos
unidades à esquerda de zero ou a pelo menos
unidades à direita de zero na reta numérica.
Passo 4
Vamos provar a equivalência nas duas direções:
1. Se
, então
:
- Se
, isso significa que a distância de até zero é pelo menos . - Isso só pode acontecer se
for menor ou igual a ou maior ou igual a .
2. Se
, então
:
- Se
, então porque é negativo. - Se
, então claramente .
Passo 5
Como mostramos que
implica
e vice-versa, concluímos que as duas expressões são equivalentes.
Resposta
Portanto, para todo
,
está comprovado!
Exercícios relacionados
Aplicação: Decaimento Radioativo:
b) Sabendo que a massa inicial de urânio era de e que
, determine a equação que descreve a massa em função do tempo e analise o limite
.
b) Sabendo que a massa inicial de urânio era de
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Determine
de modo que a equação diferencial
seja do tipo homogêneo. Para estes valores de
determine a solução.
Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
c)
c)