Dada uma constante , e um número real qualquer, mostre que para todo ,
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que para qualquer número real e uma constante positiva , a seguinte equivalência é verdadeira:
Basicamente, precisamos entender como o valor absoluto de se relaciona com . Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o valor absoluto. O valor absoluto de , escrito como , representa a distância de até zero na reta numérica, sempre sendo um número não negativo. Então, quer dizer que está a pelo menos uma distância de zero.

Passo 3

Agora, vamos interpretar a parte direita da equivalência: . O símbolo significa “ou”. Então, isso diz que é menor ou igual a ou maior ou igual a . Em outras palavras, está a pelo menos unidades à esquerda de zero ou a pelo menos unidades à direita de zero na reta numérica.

Passo 4

Vamos provar a equivalência nas duas direções:
1. Se , então :
  • Se , isso significa que a distância de até zero é pelo menos .
  • Isso só pode acontecer se for menor ou igual a ou maior ou igual a .
2. Se , então :
  • Se , então porque é negativo.
  • Se , então claramente .

Passo 5

Como mostramos que implica e vice-versa, concluímos que as duas expressões são equivalentes.

Resposta

Portanto, para todo ,
está comprovado!

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Aplicação: Decaimento Radioativo:
b) Sabendo que a massa inicial de urânio era de e que , determine a equação que descreve a massa em função do tempo e analise o limite .
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Determine de modo que a equação diferencial
seja do tipo homogêneo. Para estes valores de determine a solução.
Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações
c)