Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.

Passo 1

Beleza! Temos a equação diferencial com a condição inicial . Vamos resolver isso passo a passo. A matéria aqui envolve equações diferenciais, especificamente equações homogêneas. Precisaremos usar substituições para simplificar e encontrar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a equação dada é uma equação diferencial homogênea. Isso significa que podemos fazer uma substituição que simplifique a equação. Vamos usar , onde é uma nova função que nos ajudará a simplificar a equação.

Passo 3

Com a substituição , precisamos encontrar em termos de e . Diferenciando ambos os lados em relação a , temos:
Isso nos permite reescrever a derivada usando e sua derivada.

Passo 4

Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Vamos dividir ambos os lados por para simplificar:
Expandindo o lado direito:
Rearranjando os termos:
Agora, isolamos :

Passo 6

Temos uma equação separável agora:
Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo pode ser feita com a substituição , resultando em . A integral do lado direito é . Assim:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver para :
Podemos reescrever como para simplificar:
Removendo os logaritmos:
Isolando :
Lembrando que , temos:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial :
Para que isso seja verdadeiro, .

Resposta

A solução particular é:

Exercícios relacionados

Resolva em as seguintes inequações
d)
Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
i)
Aplicação: Decaimento Radioativo:
b) Sabendo que a massa inicial de urânio era de e que , determine a equação que descreve a massa em função do tempo e analise o limite .
Dada uma constante , e um número real qualquer, mostre que para todo ,
c)