Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Passo 1
Beleza! Temos a equação diferencial
com a condição inicial
. Vamos resolver isso passo a passo. A matéria aqui envolve equações diferenciais, especificamente equações homogêneas. Precisaremos usar substituições para simplificar e encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a equação dada é uma equação diferencial homogênea. Isso significa que podemos fazer uma substituição que simplifique a equação. Vamos usar
, onde
é uma nova função que nos ajudará a simplificar a equação.
Passo 3
Com a substituição
, precisamos encontrar
em termos de
e
. Diferenciando ambos os lados em relação a
, temos:
Isso nos permite reescrever a derivada
usando
e sua derivada.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Vamos dividir ambos os lados por
para simplificar:
Expandindo o lado direito:
Rearranjando os termos:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Temos uma equação separável agora:
Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo pode ser feita com a substituição
, resultando em
. A integral do lado direito é
. Assim:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver para
:
Podemos reescrever
como
para simplificar:
Removendo os logaritmos:
Isolando
:
Lembrando que
, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
:
Para que isso seja verdadeiro,
.
Resposta
A solução particular é: