Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Passo 1
Beleza! Temos a equação diferencial com a condição inicial . Vamos resolver isso passo a passo. A matéria aqui envolve equações diferenciais, especificamente equações homogêneas. Precisaremos usar substituições para simplificar e encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a equação dada é uma equação diferencial homogênea. Isso significa que podemos fazer uma substituição que simplifique a equação. Vamos usar , onde é uma nova função que nos ajudará a simplificar a equação.
Passo 3
Com a substituição , precisamos encontrar em termos de e . Diferenciando ambos os lados em relação a , temos:
Isso nos permite reescrever a derivada usando e sua derivada.
Passo 4
Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Vamos dividir ambos os lados por para simplificar:
Expandindo o lado direito:
Rearranjando os termos:
Agora, isolamos :
Passo 6
Temos uma equação separável agora:
Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo pode ser feita com a substituição , resultando em . A integral do lado direito é . Assim: