seja do tipo homogêneo. Para estes valores de determine a solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de que fazem a equação diferencial
ser do tipo homogênea. Depois, para esses valores de , precisamos encontrar a solução da equação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial homogênea e como resolver esse tipo de equação. Vamos aos passos!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial da forma é chamada de homogênea se a função for homogênea de grau zero. Isso quer dizer que, se multiplicarmos e por um mesmo fator , a função permanece a mesma, ou seja:
No nosso caso, temos:
Vamos verificar se essa função é homogênea de grau zero.
Passo 3
Vamos substituir por e por na função :
Como vimos, , o que confirma que a função é homogênea de grau zero independente do valor de . Portanto, toda a equação dada é homogênea para qualquer .
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é homogênea para qualquer , vamos resolver a equação diferencial. A técnica comum para resolver equações homogêneas é a substituição . Vamos fazer isso!
Definindo , derivando ambos os lados em relação a :
Substituindo e na equação original:
Agora, vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Agora, vamos separar as variáveis e :
Passo 5
Vamos integrar os dois lados da equação:
Para resolver a integral do lado esquerdo, podemos separar em duas frações:
Resolvendo para e , encontramos que:
Portanto:
Integrando:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde é uma constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para . Primeiro, exponenciamos ambos os lados:
Onde é uma nova constante.
Agora, substituindo :
Multiplicando numerador e denominador por :
Resolvendo para :
Distribuindo :
Reagrupando termos com :
Fatorando :
Finalmente, isolando :
Podemos simplificar a constante para se quisermos, mas a constante geral já está incorporada na solução.
Resposta
Para qualquer número real , a equação diferencial
é homogênea. A solução geral dessa equação é dada por: