para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação para resolver: para . Estamos trabalhando com desigualdades do álgebra, e vamos precisar usar algumas técnicas de resolução de desigualdades e fundamentos de fatoração para mostrar que essa inequação é verdadeira quando é maior que 4.

Passo 2

Primeiro, para facilitar a análise, vamos trazer tudo para um lado da desigualdade. Isso significa subtrair de ambos os lados:
Assim, a desigualdade fica mais simples de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos fatorar a expressão . Fatorar significa escrever a expressão como o produto de dois ou mais fatores. No nosso caso, podemos tirar um em comum:
Então, a desigualdade agora é .

Passo 4

Para resolver essa desigualdade, precisamos analisar os sinais dos fatores e :
  1. Quando :
    • é positivo.
    • também é positivo porque é maior que 3.
    • O produto de dois números positivos é positivo ( ).
  2. Quando :
    • é positivo.
    • é negativo porque é menor que 3.
    • O produto de um positivo e um negativo é negativo ( ).
  3. Quando :
    • é negativo.
    • também é negativo porque é menor que 0.
    • O produto de dois números negativos é positivo ( ).

Passo 5

Sabemos que a desigualdade é satisfeita quando o produto é positivo. De acordo com a análise anterior, isso acontece quando:
No entanto, a condição dada no enunciado é , que já está dentro do intervalo onde a desigualdade é verdadeira ( ). Portanto, para todo , a desigualdade é verdadeira.

Resposta

Para todo número maior que 4, a desigualdade é verdadeira.

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