para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação para resolver:
para
. Estamos trabalhando com desigualdades do álgebra, e vamos precisar usar algumas técnicas de resolução de desigualdades e fundamentos de fatoração para mostrar que essa inequação é verdadeira quando
é maior que 4.
Passo 2
Primeiro, para facilitar a análise, vamos trazer tudo para um lado da desigualdade. Isso significa subtrair
de ambos os lados:
Assim, a desigualdade fica mais simples de trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos fatorar a expressão
. Fatorar significa escrever a expressão como o produto de dois ou mais fatores. No nosso caso, podemos tirar um
em comum:
Então, a desigualdade agora é
.
Passo 4
Para resolver essa desigualdade, precisamos analisar os sinais dos fatores
e
:
-
Quando
: -
é positivo. -
também é positivo porque é maior que 3. - O produto de dois números positivos é positivo (
).
-
-
Quando
: -
é positivo. -
é negativo porque é menor que 3. - O produto de um positivo e um negativo é negativo (
).
-
-
Quando
: -
é negativo. -
também é negativo porque é menor que 0. - O produto de dois números negativos é positivo (
).
-
Passo 5
Sabemos que a desigualdade
é satisfeita quando o produto é positivo. De acordo com a análise anterior, isso acontece quando:
No entanto, a condição dada no enunciado é
, que já está dentro do intervalo onde a desigualdade é verdadeira (
). Portanto, para todo
, a desigualdade
é verdadeira.
Resposta
Para todo número
maior que 4, a desigualdade
é verdadeira.
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a)
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c) Calcule e interprete e
no limite
. Estes resultados condizem com sua intuição?
c) Calcule e interprete
Seja
uma região limitada por
e
. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno da reta
.