Em uma aplicação específica que envolve o escoamento de ar sobre uma superfície aquecida, a distribuição de temperaturas na camada-limite pode ser aproximada por:
T-TsTinfty-Ts=1-exp (-Pr uinfty ynu)
onde y é a distância normal à superfície e o número de Prandtl, Pr=cp mu / k=0,7, é uma propriedade adimensional do fluido. Sendo Tinfty=400[K], Ts=300[K] e uinfty / nu=5000[m^-1], qual é o fluxo térmico na superfície e o coeficiente de transferência de calor por convecção?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transferência de calor em um fluxo de ar sobre uma superfície aquecida. A gente vai precisar entender a distribuição de temperaturas na camada-limite e usar algumas propriedades físicas como o número de Prandtl. Nosso objetivo é encontrar o fluxo térmico na superfície e o coeficiente de transferência de calor por convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a fórmula que descreve a distribuição de temperaturas na camada-limite:
T - TsTinfty - Ts = 1 - exp(-Pr uinfty ynu)
Aqui, T é a temperatura em uma distância y da superfície, Ts é a temperatura da superfície, Tinfty é a temperatura do fluido distante, Pr é o número de Prandtl, uinfty é a velocidade do fluxo, e nu é a viscosidade cinemática.

Passo 3

Nosso foco é encontrar o fluxo térmico na superfície, que depende do gradiente de temperatura na superfície ( y = 0). Para isso, precisamos derivar a expressão de T em relação a y.
Primeiro, reescrevemos a equação para T:
T = Ts + (Tinfty - Ts) [1 - exp(-Pr uinfty ynu)]

Passo 4

Agora, vamos derivar T em relação a y:
dTdy = (Tinfty - Ts) [0 - exp(-Pr uinfty ynu) (-Pr uinftynu)]
Simplificando:
dTdy = (Tinfty - Ts) Pr uinftynu exp(-Pr uinfty ynu)
Na superfície, y = 0, então:
dTdy|y=0 = (Tinfty - Ts) Pr uinftynu

Passo 5

O fluxo térmico na superfície ( q'') é dado por:
q'' = -k dTdy|y=0
Substituindo a derivada que encontramos:
q'' = -k (Tinfty - Ts) Pr uinftynu
Como estamos considerando que o fluxo está entrando na superfície, podemos ignorar o sinal negativo:
q'' = k (Tinfty - Ts) Pr uinftynu

Passo 6

O coeficiente de transferência de calor por convecç��o ( h) relaciona o fluxo térmico à diferença de temperatura:
q'' = h (Tinfty - Ts)
Comparando com a expressão anterior:
h = k Pr uinftynu

Resposta

O fluxo térmico na superfície é de q'' = k times 0,7 times 5000 , W/m²² e o coeficiente de transferência de calor por convecção é h = k times 0,7 times 5000 , W/(m²·K)². Para valores numéricos completos, é necessário conhecer a condutividade térmica k do ar.

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