Suponha que a placa está gerando calor com uma taxa por unidade de volume igual a g0. Mantendo as mesmas condições de contorno e a inicial. Determine a nova distribuição de temperatura T(x, t).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa que está gerando calor constantemente a uma taxa de por unidade de volume. Queremos determinar como a temperatura se distribui na placa ao longo do tempo, mantendo as mesmas condições iniciais e de contorno. Para resolver isso, vamos usar a Equação de Difusão de Calor com uma fonte de calor.

Passo 2

A Equação de Difusão de Calor básica, sem fonte de calor, é dada por:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2
onde:
  • partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2 + g0rho cp é a temperatura em função da posição e do tempo ,
  • é a difusividade térmica do material.
Como temos uma fonte de calor constante , a equação se modifica para incluir essa geração de calor:
Aqui:
  • é a densidade do material,
  • é a capacidade calorífica a pressão constante.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos buscar uma solução estacionária, ou seja, onde a temperatura não depende do tempo ( 0 = alpha partial^2 Tpartial x^2 + g0rho cp ). Assim, a equação simplifica para:
partial^2 Tpartial x^2 = -g0alpha rho cp
Reorganizando:

Passo 4

Integrando a equação duas vezes em relação a partial Tpartial x = -g0alpha rho cp x + C1 , obtemos:
Primeira integração:
T(x) = -g02 alpha rho cp x^2 + C1 x + C2
Segunda integração:
Aqui, e são constantes de integração que serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 5

Vamos aplicar as condições de contorno. Supondo que a placa tem comprimento T(0) = T0 e T(L) = T0 e que as temperaturas nas extremidades são mantidas em T0 = -g02 alpha rho cp cdot 0 + C1 cdot 0 + C2 Rightarrow C2 = T0 , temos:
T0 = -g02 alpha rho cp L^2 + C1 L + T0
Aplicando -g02 alpha rho cp L^2 + C1 L = 0 Rightarrow C1 = g0 L2 alpha rho cp :
Aplicando :
Simplificando:

Passo 6

Substituindo T(x) = -g02 alpha rho cp x^2 + g0 L2 alpha rho cp x + T0 e T(x) = T0 + g02 alpha rho cp (L x - x^2) na expressão de :
Fatorando:

Resposta

A nova distribuição de temperatura na placa é:
T(x) = T0 + g02 alpha rho cp (L x - x^2)

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