Suponha que a placa está gerando calor com uma taxa por unidade de volume igual a g0. Mantendo as mesmas condições de contorno e a inicial. Determine a nova distribuição de temperatura .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa que está gerando calor constantemente a uma taxa de por unidade de volume. Queremos determinar como a temperatura se distribui na placa ao longo do tempo, mantendo as mesmas condições iniciais e de contorno. Para resolver isso, vamos usar a Equação de Difusão de Calor com uma fonte de calor.

Passo 2

A Equação de Difusão de Calor básica, sem fonte de calor, é dada por:
onde:
  • é a temperatura em função da posição e do tempo ,
  • é a difusividade térmica do material.
Como temos uma fonte de calor constante , a equação se modifica para incluir essa geração de calor:
Aqui:
  • é a densidade do material,
  • é a capacidade calorífica a pressão constante.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos buscar uma solução estacionária, ou seja, onde a temperatura não depende do tempo ( ). Assim, a equação simplifica para:
Reorganizando:

Passo 4

Integrando a equação duas vezes em relação a , obtemos:
Primeira integração:
Segunda integração:
Aqui, e são constantes de integração que serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 5

Vamos aplicar as condições de contorno. Supondo que a placa tem comprimento e que as temperaturas nas extremidades são mantidas em , temos:
Aplicando :
Aplicando :
Simplificando:

Passo 6

Substituindo e na expressão de :
Fatorando:

Resposta

A nova distribuição de temperatura na placa é:

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