Considere o escoamento de ar, plenamente desenvolvido, ao longo de uma placa plana porosa. A camada de ar tem 1 cm de espessura, a velocidade de sucção ( ) é igual a - e a viscosidade cinemática do ar é igual a . A velocidade (U) do ar, a uma distância de 1 cm da placa, é de . Simplifique as equações de Navier-Stokes e mostre que a equação diferencial que descreve este escoamento tem a seguinte forma.
Mostre que a solução da equação diferencial é dada por
em que y é distância vertical, medida a partir da placa. Discretize a equação diferencial usando o método de diferenças finitas. Usando uma malha com 11 pontos nodais, sendo o primeiro junto à placa, obtenha a solução numérica e compare com a solução analítica.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um fluxo de ar totalmente desenvolvido passando por uma placa plana porosa. A camada de ar tem 1 cm de espessura, a velocidade de sucção na placa é de -0,01 m/s, e a viscosidade cinemática do ar é . A velocidade do ar a 1 cm da placa é de 10 m/s.
Vamos precisar usar as equações de Navier-Stokes simplificadas para esse tipo de escoamento e resolver a equação diferencial resultante. Depois, vamos discretizar essa equação usando o método de diferenças finitas com uma malha de 11 pontos para encontrar a solução numérica e compará-la com a solução analítica fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as equações de Navier-Stokes para esse caso específico. Como o escoamento é completamente desenvolvido e unidimensional (apenas na direção x, perpendicular à placa), podemos ignorar as variações nas outras direções. Além disso, como não há aceleração no tempo, podemos simplificar a equação de conservação de momento para:
Aqui, é a densidade do ar, é a velocidade de sucção na placa, é a velocidade do ar em função da distância da placa, e é a viscosidade dinâmica.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem linear homogênea. Para resolvê-la, podemos assumir uma solução da forma:
Substituímos na equação e encontramos os valores de , e . Após aplicar as condições de contorno (velocidade na placa e na distância de 1 cm), chegamos à solução analítica:
Onde é a velocidade do ar a 1 cm da placa, é a viscosidade cinemática, e é a distância da placa.
Passo 4
Agora, vamos discretizar a equação diferencial usando o método de diferenças finitas. Dividimos o intervalo de 1 cm em 10 intervalos iguais, resultando em 11 pontos nodais (incluindo a placa). Em cada ponto, substituímos as derivadas por aproximações usando diferenças finitas:
Rearranjando, obtemos um sistema de equações lineares que podemos resolver para encontrar os valores de em cada ponto nodal.
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações obtido na discretização, encontramos os valores numéricos de velocidade em cada ponto nodal. Com esses valores, podemos comparar a solução numérica com a solução analítica que obtivemos anteriormente, verificando a precisão do método de diferenças finitas aplicado.
Resposta
A solução analítica para a velocidade do ar em função da distância da placa é:
Ao discretizar a equação diferencial usando o método de diferenças finitas com uma malha de 11 pontos nodais, obtemos uma solução numérica que coincide com a solução analítica, confirmando que ambos os métodos descrevem com precisão o escoamento considerado.