Resultados experimentais para a transferência de calor sobre uma placa plana com superfície extremamente rugosa puderam ser correlacionados por uma expressão com a forma onde é o valor local do número de Nusselt na posição , medida a partir da aresta frontal da placa. Obtenha uma expressão para a razão entre os coeficientes de transferência de calor médio e local .

Passo 1

Beleza, temos um exercício sobre transferência de calor em uma placa plana com superfície bem rugosa. A questão utiliza conceitos de números adimensionais como o Número de Nusselt ( ), Número de Reynolds ( ) e Número de Prandtl ( ). Precisamos encontrar uma expressão que relacione o coeficiente de transferência de calor médio ( ) com o coeficiente de transferência de calor local ( ). Para resolver isso, vamos revisar algumas definições e relações entre esses números e os coeficientes de transferência de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada número representa:
  • Número de Nusselt ( ): Relaciona a transferência de calor por convecção com a transferência por condução. É dado por:
    Onde:
    • é o coeficiente de transferência de calor local,
    • é uma dimensão característica (neste caso, a posição na placa),
    • é a condutividade térmica do fluido.
  • Número de Reynolds ( ): Mede o regime de fluxo, se laminar ou turbulento. É calculado por:
    Onde:
    • é a densidade do fluido,
    • é a velocidade do fluxo na posição ,
    • é a viscosidade dinâmica do fluido.
  • Número de Prandtl ( ): Relação entre a difusividade de momento e a difusividade térmica:
    Onde:
    • é a viscosidade cinemática,
    • é a difusividade térmica,
    • é a capacidade calorífica a pressão constante.

Passo 3

A expressão experimental dada é:
Queremos encontrar a relação entre o coeficiente médio e o coeficiente local .
Sabemos que o coeficiente médio de transferência de calor pode ser definido como:
Para encontrar a relação entre e , precisamos expressar ambos os coeficientes em termos do Número de Nusselt e então relacioná-los.

Passo 4

Expressando em termos de :
Agora, vamos expressar usando a definição do Número de Nusselt médio :
A relação entre e pode ser encontrada integrando a expressão de ao longo do comprimento da placa.

Passo 5

Substituindo a expressão experimental de :
Assumindo que e são constantes ao longo da placa (o que simplifica a integração), podemos escrever:
Portanto:
Comparando com :
Observamos que , mas isso ocorre sob a suposição de que e são constantes, o que pode não ser o caso real. Para uma análise mais precisa, consideraríamos como varia com , mas para este exercício, com as informações dadas, a relação direta é válida.

Resposta

A razão entre o coeficiente de transferência de calor médio e o coeficiente local é igual a 1, ou seja:

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