Uma aplicação financeira rende uma taxa contínua mensal de
. Você faz retiradas continuamente a uma taxa constante de 12 reais ao mês. Se o saldo inicial da aplicação é de 100 reais, escreva um PVI que modela o problema de encontrar o saldo da aplicação como função do tempo,
. Encontre a solução geral da equação diferencial e a solução do PVI. Para qual valor de
o saldo atinge a metade do valor inicial?
meses.
d
meses.
(b)
meses.
e
meses.
c
meses.
f
meses.
d
(b)
e
c
f
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma aplicação financeira que rende uma taxa contínua mensal de
(ou seja, 10% ao mês). Além disso, você está fazendo retiradas contínuas a uma taxa constante de 12 reais por mês. O saldo inicial da aplicação é de 100 reais. Nosso objetivo aqui é modelar esse problema usando uma equação diferencial, resolver essa equação e descobrir em quanto tempo o saldo vai atingir a metade do valor inicial.
Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares e conhecer um pouco sobre crescimento e decrescimento exponencial. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos modelar o problema com uma equação diferencial. O saldo da aplicação no tempo
, que chamaremos de
, está crescendo devido aos rendimentos da aplicação e diminuindo pelas retiradas constantes.
A taxa de variação do saldo
é igual ao rendimento da aplicação menos a taxa de retirada:
O rendimento contínuo pode ser representado por
, onde
. A retirada é uma taxa constante de 12 reais por mês. Então, temos:
Essa é a nossa equação diferencial que modela o problema.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. É uma equação diferencial linear de primeira ordem e podemos resolver usando o método do fator integrante.
A equação geral é:
O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada de
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Integrando o lado direito:
Então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor da constante
. Sabemos que o saldo inicial é de 100 reais, ou seja,
.
Substituindo
na solução geral:
Então, a solução específica da equação diferencial com a condição inicial é:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o tempo
em que o saldo
atinge a metade do valor inicial, ou seja,
.
Substituindo
na equação:
Vamos resolver para
:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Resposta
O tempo necessário para que o saldo atinja a metade do valor inicial é: