Uma aplicação financeira rende uma taxa contínua mensal de 1/10. Você faz retiradas continuamente a uma taxa constante de 12 reais ao mês. Se o saldo inicial da aplicação é de 100 reais, escreva um PVI que modela o problema de encontrar o saldo da aplicação como função do tempo, S(t). Encontre a solução geral da equação diferencial e a solução do PVI. Para qual valor de t o saldo atinge a metade do valor inicial?
quadrado t = 10 * ln(7/2) meses.
d t = 10 * ln(3/4) meses.
(b) t = 10 * ln(9/2) meses.
e t = 5 * ln(7/2) meses.
c t = 5 * ln(9/2) meses.
f t = 5 ln(3/4) meses.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma aplicação financeira que rende uma taxa contínua mensal de (ou seja, 10% ao mês). Além disso, você está fazendo retiradas contínuas a uma taxa constante de 12 reais por mês. O saldo inicial da aplicação é de 100 reais. Nosso objetivo aqui é modelar esse problema usando uma equação diferencial, resolver essa equação e descobrir em quanto tempo o saldo vai atingir a metade do valor inicial.
Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares e conhecer um pouco sobre crescimento e decrescimento exponencial. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos modelar o problema com uma equação diferencial. O saldo da aplicação no tempo , que chamaremos de , está crescendo devido aos rendimentos da aplicação e diminuindo pelas retiradas constantes.
A taxa de variação do saldo é igual ao rendimento da aplicação menos a taxa de retirada:
O rendimento contínuo pode ser representado por , onde . A retirada é uma taxa constante de 12 reais por mês. Então, temos:
Essa é a nossa equação diferencial que modela o problema.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. É uma equação diferencial linear de primeira ordem e podemos resolver usando o método do fator integrante.
A equação geral é:
O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada de :
Integrando ambos os lados em relação a :
Integrando o lado direito:
Então:
Multiplicando ambos os lados por :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor da constante . Sabemos que o saldo inicial é de 100 reais, ou seja, .
Substituindo na solução geral:
Então, a solução específica da equação diferencial com a condição inicial é:

Passo 5

Agora, queremos encontrar o tempo em que o saldo atinge a metade do valor inicial, ou seja, .
Substituindo na equação:
Vamos resolver para :
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Resposta

O tempo necessário para que o saldo atinja a metade do valor inicial é:

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