Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(i)

Passo 1

Então, a gente quer calcular o limite . Para isso, vamos usar a regra de L’Hôpital, que é bem útil quando o limite dá uma indeterminação do tipo ou . Vamos precisar saber como derivar as funções que estão no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se ao substituir no limite a gente realmente tem uma indeterminação .
No numerador:
No denominador:
Então, temos , que é uma indeterminação. Agora sim, podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas no limite:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Então, o limite fica:

Passo 6

Substituindo de novo para ver se ainda temos uma indeterminação:
Numerador:
Denominador:
Ainda dá , então vamos aplicar a regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 7

Derivando novamente o numerador e o denominador.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:

Passo 8

Substituindo essas derivadas no limite:

Passo 9

Agora, substituindo :
Numerador:
Denominador:
Então, o limite é:

Resposta

O limite é igual a .

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