Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(i) lim x 0 x-arctg xx sin x

Passo 1

Então, a gente quer calcular o limite . Para isso, vamos usar a regra de L’Hôpital, que é bem útil quando o limite dá uma indeterminação do tipo ou . Vamos precisar saber como derivar as funções que estão no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se ao substituir x - arctan x = 0 - arctan 0 = 0 - 0 = 0 no limite a gente realmente tem uma indeterminação x sin x = 0 cdot sin 0 = 0 cdot 0 = 0 .
No numerador:
No denominador:
Então, temos , que é uma indeterminação. Agora sim, podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador:
ddx(x - arctan x) = 1 - 11 + x^2
Derivada do denominador:
ddx(x sin x) = sin x + x cos x

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas no limite:
limx 0 1 - 11 + x^2sin x + x cos x

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
1 - 11 + x^2 = (1 + x^2) - 11 + x^2 = x^21 + x^2
Então, o limite fica:
limx 0 x^21 + x^2sin x + x cos x

Passo 6

Substituindo 0^21 + 0^2 = 0 de novo para ver se ainda temos uma indeterminação:
Numerador:
sin 0 + 0 cdot cos 0 = 0 + 0 = 0
Denominador:
Ainda dá , então vamos aplicar a regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 7

Derivando novamente o numerador e o denominador.
Derivada do numerador:
ddx ( x^21 + x^2 ) = 2x(1 + x^2) - x^2 cdot 2x(1 + x^2)^2 = 2x + 2x^3 - 2x^3(1 + x^2)^2 = 2x(1 + x^2)^2
Derivada do denominador:
ddx (sin x + x cos x) = cos x + cos x - x sin x = 2 cos x - x sin x

Passo 8

Substituindo essas derivadas no limite:
limx 0 2x(1 + x^2)^22 cos x - x sin x

Passo 9

Agora, substituindo 2 cdot 0(1 + 0)^2 = 0 :
Numerador:
2 cos 0 - 0 cdot sin 0 = 2 cdot 1 - 0 = 2
Denominador:
02 = 0
Então, o limite é:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados