Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(i)
Passo 1
Então, a gente quer calcular o limite
. Para isso, vamos usar a regra de L’Hôpital, que é bem útil quando o limite dá uma indeterminação do tipo
ou
. Vamos precisar saber como derivar as funções que estão no numerador e no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se ao substituir
no limite a gente realmente tem uma indeterminação
.
No numerador:
No denominador:
Então, temos
, que é uma indeterminação. Agora sim, podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
Aplicando a regra de L’Hôpital, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas no limite:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Então, o limite fica:
Passo 6
Substituindo
de novo para ver se ainda temos uma indeterminação:
Numerador:
Denominador:
Ainda dá
, então vamos aplicar a regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 7
Derivando novamente o numerador e o denominador.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 8
Substituindo essas derivadas no limite:
Passo 9
Agora, substituindo
:
Numerador:
Denominador:
Então, o limite é:
Resposta
O limite
é igual a
.