Considere a função . Em relação a essa função determine:
Os intervalos de crescimento e decrescimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir onde essa função está crescendo e onde está decrescendo. Isso faz parte do estudo de derivadas na matemática, que nos ajuda a entender como uma função se comporta. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva (crescente) ou negativa (decrescente).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, a gente precisa calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, quão rápido ela está aumentando ou diminuindo. A gente vai usar a regra do quociente para derivar , já que é uma fração.
A regra do quociente diz que, se temos uma função , a derivada é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:

Passo 6

Agora, para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar o sinal de :
Sabemos que é sempre positivo para qualquer valor de , então o sinal de depende apenas do numerador .

Passo 7

Vamos resolver a inequação para encontrar onde a função está crescendo:
Isso significa que quando , então a função está crescente nesse intervalo.

Passo 8

Agora, vamos resolver a inequação para descobrir onde a função está decrescendo:
Portanto, quando , então a função está decrescendo nesse intervalo.

Resposta

A função está crescendo para e decrescendo para .

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