Considere a função
. Em relação a essa função determine:
Os intervalos de crescimento e decrescimento.
Os intervalos de crescimento e decrescimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir onde essa função está crescendo e onde está decrescendo. Isso faz parte do estudo de derivadas na matemática, que nos ajuda a entender como uma função se comporta. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva (crescente) ou negativa (decrescente).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, a gente precisa calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, quão rápido ela está aumentando ou diminuindo. A gente vai usar a regra do quociente para derivar
, já que é uma fração.
A regra do quociente diz que, se temos uma função
, a derivada
é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 6
Agora, para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar o sinal de
:
Sabemos que
é sempre positivo para qualquer valor de
, então o sinal de
depende apenas do numerador
.
Passo 7
Vamos resolver a inequação
para encontrar onde a função está crescendo:
Isso significa que
quando
, então a função está crescente nesse intervalo.
Passo 8
Agora, vamos resolver a inequação
para descobrir onde a função está decrescendo:
Portanto,
quando
, então a função está decrescendo nesse intervalo.
Resposta
A função
está crescendo para
e decrescendo para
.
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, onde
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