Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(g)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite:
Estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente utilizando a Regra de L’Hospital. Para aplicar essa regra, precisamos verificar se o limite está em uma forma indeterminada, como ou .

Passo 2

Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de :
  • Numerador:
    Sabemos que , então:
  • Denominador:
    Sabemos que , então:
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, o limite está na forma indeterminada . Isso nos permite aplicar a Regra de L’Hospital, que diz que se:
então:

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hospital, precisamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :
    Para derivar , usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Substituindo as derivadas no limite, temos:
Simplificando os sinais negativos:
Cancelando no numerador e denominador:

Passo 5

Agora, calculamos o limite restante substituindo :
Então:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Determine a função , sabendo que e sua derivada é contínua e satisfaz à equação .
Seja definida no intervalo . Mostre que não existe que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio. Faça o gráfico da função. Sugestão: Mostre que não satisfaz pelo menos uma das hipóteses do T.V.M.
Considere .
Encontrar .