Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(g) lim x pi / 2 1-sin xcos ^2 x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite:
limx pi2 1 - sin xcos^2 x
Estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente utilizando a Regra de L’Hospital. Para aplicar essa regra, precisamos verificar se o limite está em uma forma indeterminada, como ou .

Passo 2

Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando 1 - sin(pi2) = 1 - 1 = 0 se aproxima de cos^2(pi2) = 0^2 = 0 :
  • Numerador: limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty,
    Sabemos que limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) , então:
  • Denominador:
    Sabemos que , então:
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, o limite está na forma indeterminada . Isso nos permite aplicar a Regra de L’Hospital, que diz que se:
então:

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hospital, precisamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador f'(x) = -cos x :
    g'(x) = 2 cos x cdot (-sin x) = -2 sin x cos x
  • Derivada do denominador :
    Para derivar , usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Substituindo as derivadas no limite, temos:
limx pi2 f'(x)g'(x) = limx pi2 -cos x-2 sin x cos x
Simplificando os sinais negativos:
= limx pi2 cos x2 sin x cos x
Cancelando = limx pi2 12 sin x no numerador e denominador:

Passo 5

Agora, calculamos o limite restante substituindo sin(pi2) = 1 :
limx pi2 12 sin x = 12 cdot 1 = 12
Então:

Resposta

O limite é .

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