Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(g)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite:
Estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente utilizando a Regra de L’Hospital. Para aplicar essa regra, precisamos verificar se o limite está em uma forma indeterminada, como
ou
.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de
:
-
Numerador:Sabemos que
, então: -
Denominador:Sabemos que
, então:
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, o limite está na forma indeterminada
. Isso nos permite aplicar a Regra de L’Hospital, que diz que se:
então:
Passo 3
Aplicando a Regra de L’Hospital, precisamos calcular as derivadas do numerador e do denominador:
-
Derivada do numerador
: -
Derivada do denominador
: Para derivar, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Substituindo as derivadas no limite, temos:
Simplificando os sinais negativos:
Cancelando
no numerador e denominador:
Passo 5
Agora, calculamos o limite restante substituindo
:
Então:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine a função
, sabendo que
e sua derivada
é contínua e satisfaz à equação
.
Seja
definida no intervalo
. Mostre que não existe
que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio. Faça o gráfico da função. Sugestão: Mostre que
não satisfaz pelo menos uma das hipóteses do T.V.M.
Considere
.
Encontrar .
Encontrar