Beleza, vamos resolver essa questão sobre transformação linear! O enunciado nos pede para verificar se a função , definida por , é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e em e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
Adição Vetorial:
Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar se nossa função satisfaz essas duas propriedades.
Passo 3
Verificando a Adição Vetorial:
Sejam e .
Primeiro, calculemos .
Aplicando em :
Agora, calculemos :
Vemos que , então a propriedade da adição vetorial é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Multiplicação por Escalar:
Seja um escalar e .
Primeiro, calculemos .
Aplicando em :
Assim, , o que confirma que a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Sim, a transformação é uma transformação linear porque satisfaz as propriedades de adição vetorial e multiplicação por escalar.