A aplicaçāo L: R^2 R^2 dada por L(x, y)=(x-y, x+y) é uma transformaçāo linear?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre transformação linear! O enunciado nos pede para verificar se a função , definida por , é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e em e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição Vetorial:
  2. Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar se nossa função satisfaz essas duas propriedades.

Passo 3

Verificando a Adição Vetorial:
Sejam L(u + v) = ((x1 + x2) - (y1 + y2), (x1 + x2) + (y1 + y2)) = (x1 + x2 - y1 - y2, x1 + x2 + y1 + y2) e L(u) = (x1 - y1, x1 + y1) .
Primeiro, calculemos L(v) = (x2 - y2, x2 + y2) .
Aplicando L(u) + L(v) = (x1 - y1 + x2 - y2, x1 + y1 + x2 + y2) = (x1 + x2 - y1 - y2, x1 + x2 + y1 + y2) em :
Agora, calculemos :
Vemos que , então a propriedade da adição vetorial é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Multiplicação por Escalar:
Seja L(cu) = (cx - cy, cx + cy) = c(x - y, x + y) = cL(u) um escalar e .
Primeiro, calculemos .
Aplicando em :
Assim, , o que confirma que a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Sim, a transformação é uma transformação linear porque satisfaz as propriedades de adição vetorial e multiplicação por escalar.

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