A aplicaçāo
dada por
é uma transformaçāo linear?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre transformação linear! O enunciado nos pede para verificar se a função
, definida por
, é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Adição Vetorial:
- Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar se nossa função
satisfaz essas duas propriedades.
Passo 3
Verificando a Adição Vetorial:
Sejam
e
.
Primeiro, calculemos
.
Aplicando
em
:
Agora, calculemos
:
Vemos que
, então a propriedade da adição vetorial é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Multiplicação por Escalar:
Seja
um escalar e
.
Primeiro, calculemos
.
Aplicando
em
:
Assim,
, o que confirma que a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Sim, a transformação
é uma transformação linear porque satisfaz as propriedades de adição vetorial e multiplicação por escalar.