(3,0 pts) Considere o operador linear tal que sua matriz em relação à base canônica é dada por:
(a) Calcule o polinômio característico, os autovalores e os autovetores desse operador T.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão pede para gente calcular o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de um operador linear que é representado por uma matriz 4x4 na base canônica. Para isso, vamos precisar entender o que são polinômio característico, autovalores e autovetores, e como encontrá-los a partir da matriz dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz . O polinômio característico é determinado pela expressão , onde é a matriz, é um escalar (que vai representar os autovalores), e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Agora, vamos calcular o determinante de det(A - lambda I) = (1 - lambda) times (-1 - lambda) times (1 - lambda) times (-1 - lambda) . Como essa matriz é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Da segunda e terceira equações, . Da primeira, . é livre. Então, os autovetores para são combinações de e .
Resposta
O polinômio característico é 1 0 0 0 . Os autovalores de 1 2 0 0 são 0 0 0 1 e , cada um com multiplicidade 2. Os autovetores correspondentes são múltiplos de para e de e para .