(3,0 pts) Considere o operador linear T: R^4 longrightarrow R^4 tal que sua matriz em relação à base canônica alpha é dada por:
[T]alpha^alpha=(cccc 1 & -1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 )
(a) Calcule o polinômio característico, os autovalores e os autovetores desse operador T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão pede para gente calcular o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de um operador linear que é representado por uma matriz 4x4 na base canônica. Para isso, vamos precisar entender o que são polinômio característico, autovalores e autovetores, e como encontrá-los a partir da matriz dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz . O polinômio característico é determinado pela expressão , onde é a matriz, é um escalar (que vai representar os autovalores), e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos calcular I = (cccc 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ) . A matriz identidade A - lambda I = (cccc 1 - lambda & -1 & 0 & 0 0 & -1 - lambda & 1 & 0 0 & 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & 0 & -1 - lambda ) 4x4 é:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de det(A - lambda I) = (1 - lambda) times (-1 - lambda) times (1 - lambda) times (-1 - lambda) . Como essa matriz é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)^2 times (-1 - lambda)^2
Simplificando:

Passo 5

Portanto, o polinômio característico é:
p(lambda) = (1 - lambda)^2 times (-1 - lambda)^2
Que também pode ser escrito como:
p(lambda) = (lambda - 1)^2 (lambda + 1)^2

Passo 6

Os autovalores são os valores de (lambda - 1)^2 (lambda + 1)^2 = 0 que satisfazem lambda - 1 = 0 ou lambda + 1 = 0 . Então, resolvendo:
lambda = 1 e lambda = -1
Temos que:
Portanto, os autovalores são:
Cada um com multiplicidade 2.

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Isso significa resolver A - I = (cccc 0 & -1 & 0 & 0 0 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -2 ) para cada - v2 = 0 -2v2 + v3 = 0 0 = 0 -2v4 = 0 .
Primeiro, para 1 0 0 0 :
Resolvendo , obtemos as equações:
Da primeira equação, . Da segunda, . Da quarta, . é livre. Então, os autovetores para são múltiplos de .

Passo 8

Agora, para A + I = (cccc 2 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ) :
2v1 - v2 = 0 v3 = 0 2v3 = 0 0 = 0
Resolvendo 1 2 0 0 , obtemos as equações:
0 0 0 1
Da segunda e terceira equações, . Da primeira, . é livre. Então, os autovetores para são combinações de e .

Resposta

O polinômio característico é 1 0 0 0 . Os autovalores de 1 2 0 0 são 0 0 0 1 e , cada um com multiplicidade 2. Os autovetores correspondentes são múltiplos de para e de e para .

Exercícios relacionados