(3,0 pts) Considere o operador linear tal que sua matriz em relação à base canônica é dada por:
(a) Calcule o polinômio característico, os autovalores e os autovetores desse operador .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão pede para gente calcular o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de um operador linear que é representado por uma matriz 4x4 na base canônica. Para isso, vamos precisar entender o que são polinômio característico, autovalores e autovetores, e como encontrá-los a partir da matriz dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz . O polinômio característico é determinado pela expressão , onde é a matriz, é um escalar (que vai representar os autovalores), e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos calcular . A matriz identidade 4x4 é:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de . Como essa matriz é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Simplificando:

Passo 5

Portanto, o polinômio característico é:
Que também pode ser escrito como:

Passo 6

Os autovalores são os valores de que satisfazem . Então, resolvendo:
Temos que:
Portanto, os autovalores são:
Cada um com multiplicidade 2.

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Isso significa resolver para cada .
Primeiro, para :
Resolvendo , obtemos as equações:
Da primeira equação, . Da segunda, . Da quarta, . é livre. Então, os autovetores para são múltiplos de .

Passo 8

Agora, para :
Resolvendo , obtemos as equações:
Da segunda e terceira equações, . Da primeira, . é livre. Então, os autovetores para são combinações de e .

Resposta

O polinômio característico é . Os autovalores de são e , cada um com multiplicidade 2. Os autovetores correspondentes são múltiplos de para e de e para .

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