Vamos resumir o que temos: somos dados três vetores no espaço , especificamente , e . O objetivo é mostrar que esses vetores são linearmente independentes (L.I.). Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e aplicar esse conceito para verificar se a única combinação linear que resulta no vetor zero é a combinação trivial (onde todos os coeficientes são zero).
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que significa linearmente independentes. Vetores são considerados linearmente independentes se a única solução para a combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes multiplicadores são zero. Em outras palavras, se tivermos:
Apenas a solução , e satisfaz essa equação para que os vetores sejam L.I.
Passo 3
Vamos escrever a combinação linear dos vetores , e igualando-a ao vetor zero:
Isso resulta em um sistema de equações:
Simplificando, temos:
a + b = 0 (1) 2a + b = 0 (2) - a + c = 0 (3)
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a, b e c.
Primeiro, da equação (1):
a + b = 0 implies b = -a
Substituindo b = -a na equação (2):
2a + (-a) = 0 implies a = 0
Se a = 0, então b = -a = 0.
Agora, substituindo a = 0 na equação (3):
-0 + c = 0 implies c = 0
Resposta
Como a única solução para o sistema é a = 0, b = 0 e c = 0, concluímos que os vetores u, v e z são linearmente independentes.