Vamos resumir o que temos: somos dados três vetores no espaço , especificamente , e . O objetivo é mostrar que esses vetores são linearmente independentes (L.I.). Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e aplicar esse conceito para verificar se a única combinação linear que resulta no vetor zero é a combinação trivial (onde todos os coeficientes são zero).
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que significa linearmente independentes. Vetores são considerados linearmente independentes se a única solução para a combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes multiplicadores são zero. Em outras palavras, se tivermos:
Apenas a solução , e satisfaz essa equação para que os vetores sejam L.I.
Passo 3
Vamos escrever a combinação linear dos vetores , e igualando-a ao vetor zero:
Isso resulta em um sistema de equações:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e .
Primeiro, da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Se , então .
Agora, substituindo na equação (3):
Resposta
Como a única solução para o sistema é , e , concluímos que os vetores , e são linearmente independentes.