Sejam u=(1,2,-1), v=(1,1,0) e w=(2,3,-1) vetores em k^3𝕜.
© Se z=(0,0,1), mostre que u, v, z são L.I.

Passo 1

Vamos resumir o que temos: somos dados três vetores no espaço k^3𝕜, especificamente u = (1, 2, -1), v = (1, 1, 0) e z = (0, 0, 1). O objetivo é mostrar que esses vetores são linearmente independentes (L.I.). Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e aplicar esse conceito para verificar se a única combinação linear que resulta no vetor zero é a combinação trivial (onde todos os coeficientes são zero).

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que significa linearmente independentes. Vetores são considerados linearmente independentes se a única solução para a combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes multiplicadores são zero. Em outras palavras, se tivermos:
au + bv + cz = 0
Apenas a solução a = 0, b = 0 e c = 0 satisfaz essa equação para que os vetores sejam L.I.

Passo 3

Vamos escrever a combinação linear dos vetores u, v e z igualando-a ao vetor zero:
a(1, 2, -1) + b(1, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (0, 0, 0)
Isso resulta em um sistema de equações:
a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 = 0 a cdot 2 + b cdot 1 + c cdot 0 = 0 a cdot (-1) + b cdot 0 + c cdot 1 = 0
Simplificando, temos:
a + b = 0 (1) 2a + b = 0 (2) - a + c = 0 (3)

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a, b e c.
Primeiro, da equação (1):
a + b = 0 implies b = -a
Substituindo b = -a na equação (2):
2a + (-a) = 0 implies a = 0
Se a = 0, então b = -a = 0.
Agora, substituindo a = 0 na equação (3):
-0 + c = 0 implies c = 0

Resposta

Como a única solução para o sistema é a = 0, b = 0 e c = 0, concluímos que os vetores u, v e z são linearmente independentes.

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