Vereifique se as funções abaixo não são transformações lineares: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por . O que precisamos fazer é verificar se essa função é uma transformação linear ou não. Para isso, vamos usar os conceitos de transformação linear da álgebra linear, onde precisamos checar duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e em e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
Aditividade:
Homogeneidade:
Vamos testar essas duas propriedades com a nossa função .
Passo 3
Vamos começar com a aditividade. Suponha que temos dois vetores e em . Calculamos :
Agora, calculamos :
Observamos que não é igual a , porque os termos cruzados como , , , e os produtos , etc., não estão presentes em .
Passo 4
Já que a aditividade não foi satisfeita, na verdade não precisamos verificar a homogeneidade para concluir que não é uma transformação linear. Porém, para ficar bem claro, vamos conferir a homogeneidade também.
Tomemos um vetor e um escalar . Calculamos :
E é:
Claramente, porque temos no primeiro componente e no segundo, enquanto tem apenas .
Resposta
Portanto, a função não é uma transformação linear.