Vereifique se as funções abaixo não são transformações lineares:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função
definida por
. O que precisamos fazer é verificar se essa função é uma transformação linear ou não. Para isso, vamos usar os conceitos de transformação linear da álgebra linear, onde precisamos checar duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos testar essas duas propriedades com a nossa função
.
Passo 3
Vamos começar com a aditividade. Suponha que temos dois vetores
e
em
. Calculamos
:
Agora, calculamos
:
Observamos que
não é igual a
, porque os termos cruzados como
,
,
, e os produtos
, etc., não estão presentes em
.
Passo 4
Já que a aditividade não foi satisfeita, na verdade não precisamos verificar a homogeneidade para concluir que
não é uma transformação linear. Porém, para ficar bem claro, vamos conferir a homogeneidade também.
Tomemos um vetor
e um escalar
. Calculamos
:
E
é:
Claramente,
porque temos
no primeiro componente e
no segundo, enquanto
tem apenas
.
Resposta
Portanto, a função
não é uma transformação linear.