Vereifique se as funções abaixo não são transformações lineares: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por . O que precisamos fazer é verificar se essa função é uma transformação linear ou não. Para isso, vamos usar os conceitos de transformação linear da álgebra linear, onde precisamos checar duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e em e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos testar essas duas propriedades com a nossa função .

Passo 3

Vamos começar com a aditividade. Suponha que temos dois vetores e em . Calculamos :
Agora, calculamos :
Observamos que não é igual a , porque os termos cruzados como , , , e os produtos , etc., não estão presentes em .

Passo 4

Já que a aditividade não foi satisfeita, na verdade não precisamos verificar a homogeneidade para concluir que não é uma transformação linear. Porém, para ficar bem claro, vamos conferir a homogeneidade também.
Tomemos um vetor e um escalar . Calculamos :
E é:
Claramente, porque temos no primeiro componente e no segundo, enquanto tem apenas .

Resposta

Portanto, a função não é uma transformação linear.

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(3,0 pts) Considere o operador linear tal que sua matriz em relação à base canônica é dada por:
(a) Calcule o polinômio característico, os autovalores e os autovetores desse operador .
A aplicaçāo dada por é uma transformaçāo linear?
Se e , determinar
Sejam e vetores em 𝕜.
(d) Conclua que 𝕜 e a dimensão de .