Vereifique se as funções abaixo não são transformações lineares: T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2, x y z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por . O que precisamos fazer é verificar se essa função é uma transformação linear ou não. Para isso, vamos usar os conceitos de transformação linear da álgebra linear, onde precisamos checar duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e em e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos testar essas duas propriedades com a nossa função .

Passo 3

Vamos começar com a aditividade. Suponha que temos dois vetores T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2 + (z1 + z2)^2, (x1 + x2)(y1 + y2)(z1 + z2)) e T(u) + T(v) = (x1^2 + y1^2 + z1^2, x1 y1 z1) + (x2^2 + y2^2 + z2^2, x2 y2 z2) = (x1^2 + y1^2 + z1^2 + x2^2 + y2^2 + z2^2, x1 y1 z1 + x2 y2 z2) em . Calculamos :
Agora, calculamos :
Observamos que não é igual a , porque os termos cruzados como , , , e os produtos , etc., não estão presentes em .

Passo 4

Já que a aditividade não foi satisfeita, na verdade não precisamos verificar a homogeneidade para concluir que T(cu) = T(cx, cy, cz) = ((cx)^2 + (cy)^2 + (cz)^2, (cx)(cy)(cz)) = c^2(x^2 + y^2 + z^2), c^3 x y z não é uma transformação linear. Porém, para ficar bem claro, vamos conferir a homogeneidade também.
Tomemos um vetor cT(u) = c(x^2 + y^2 + z^2, x y z) = (c(x^2 + y^2 + z^2), c x y z) e um escalar . Calculamos :
E é:
Claramente, porque temos no primeiro componente e no segundo, enquanto tem apenas .

Resposta

Portanto, a função não é uma transformação linear.

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