Vereifique se as funções abaixo não são transformações lineares: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se uma função específica não é uma transformação linear. A função dada é , definida por . Vamos usar os conceitos de transformações lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas:
Adição: para quaisquer vetores e .
Homogeneidade: para qualquer vetor e escalar .
Além disso, uma transformação linear deve mapear o vetor zero para o vetor zero, ou seja, .
Passo 3
Vamos verificar se a função satisfaz essas propriedades. Começando com o vetor zero. O vetor zero em é .
Calculando :
Para ser uma transformação linear, deveria ser , mas aqui obtemos . Isso já mostra que não é uma transformação linear.
Resposta
A função não é uma transformação linear porque não mapeia o vetor zero para o vetor zero.