Vereifique se as funções abaixo não são transformações lineares: T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(x+y+z, y-z+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se uma função específica não é uma transformação linear. A função dada é , definida por . Vamos usar os conceitos de transformações lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer vetor e escalar .
Além disso, uma transformação linear deve mapear o vetor zero para o vetor zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar se a função T(0, 0, 0) = (0 + 0 + 0, 0 - 0 + 1) = (0, 1) satisfaz essas propriedades. Começando com o vetor zero. O vetor zero em é .
Calculando :
Para ser uma transformação linear, deveria ser , mas aqui obtemos . Isso já mostra que não é uma transformação linear.

Resposta

A função não é uma transformação linear porque não mapeia o vetor zero para o vetor zero.

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