Vereifique se as funções abaixo não são transformações lineares:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se uma função específica não é uma transformação linear. A função dada é
, definida por
. Vamos usar os conceitos de transformações lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer vetor e escalar .
Além disso, uma transformação linear deve mapear o vetor zero para o vetor zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos verificar se a função
satisfaz essas propriedades. Começando com o vetor zero. O vetor zero em
é
.
Calculando
:
Para ser uma transformação linear,
deveria ser
, mas aqui obtemos
. Isso já mostra que
não é uma transformação linear.
Resposta
A função
não é uma transformação linear porque não mapeia o vetor zero para o vetor zero.