Aplicação: Lei de Newton do resfriamento: A temperatura superficial de um objeto varia em uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do meio. Sendo
a temperatura no tempo
e
a temperatura ambiente, constante, pede-se:
c) Em um dia em que a temperatura ambiente é de
, uma garçonete nos traz uma xícara de café, a uma temperatura
. Um minuto mais tarde (tempo suficiente para beber um copo de água mineral com gás) a temperatura já diminuiu para
. Qual é o período de tempo decorrido até que a temperatura atinja
?
c) Em um dia em que a temperatura ambiente é de
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente vai usar a Lei de Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A gente precisa encontrar o tempo que leva para a temperatura do café passar de 80°C para 35°C, sabendo que após 1 minuto ele já caiu para 50°C. Para resolver isso, vamos precisar entender essa lei e usar um pouco de cálculo com equações diferenciais.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a fórmula da Lei de Resfriamento de Newton:
Aqui:
-
é a temperatura do café no tempo . -
é a temperatura ambiente, que é 20°C. -
é a constante de resfriamento que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:
Passo 4
Agora vamos usar os dados que temos para encontrar
e
.
Quando
, a temperatura
. Substituindo na equação:
Então, nossa equação fica:
Passo 5
Sabemos que após 1 minuto, a temperatura caiu para 50°C:
Para encontrar
, tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 6
Agora que temos
, vamos encontrar o tempo
quando
:
Tirando o logaritmo natural:
Resposta
O período de tempo decorrido até que a temperatura do café atinja 35°C é de aproximadamente 2 minutos.