Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
e)
e)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
. Nosso objetivo é encontrar o ínfimo e o supremo desse conjunto, se eles existirem. Para isso, vamos precisar lembrar sobre os conceitos de infimum e supremum, que são basicamente o menor e o maior valor que o conjunto pode alcançar, respectivamente.
Passo 2
Vamos começar identificando quais números reais satisfazem a condição
. Isso significa que estamos procurando todos os
cujo quadrado é maior que 7.
Passo 3
Para resolver
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados da desigualdade. Lembrando que, ao fazer isso em uma inequação, precisamos considerar tanto os valores positivos quanto os negativos:
Passo 4
Assim, o conjunto
pode ser reescrito como a união de dois intervalos:
Passo 5
Agora, vamos determinar o ínfimo e o supremo desse conjunto. O ínfimo é o menor valor que o conjunto pode alcançar, e o supremo é o maior valor.
-
Infimum (Ínfimo): Observando o intervalo
, vemos que não há um menor número real, pois sempre podemos encontrar um número menor que qualquer valor escolhido. Portanto, o ínfimo de não existe nos números reais, ou pode ser considerado como . -
Supremum (Supremo): Observando o intervalo
, percebemos que não há um maior número real, pois sempre podemos encontrar um número maior que qualquer valor escolhido. Assim, o supremo de também não existe nos números reais, ou pode ser considerado como .
Resposta
O conjunto
não possui ínfimo nem supremo nos números reais, já que seu ínfimo é
e seu supremo é
.