Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
e) E = { x em R | x^2 > 7 }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto . Nosso objetivo é encontrar o ínfimo e o supremo desse conjunto, se eles existirem. Para isso, vamos precisar lembrar sobre os conceitos de infimum e supremum, que são basicamente o menor e o maior valor que o conjunto pode alcançar, respectivamente.

Passo 2

Vamos começar identificando quais números reais satisfazem a condição . Isso significa que estamos procurando todos os cujo quadrado é maior que 7.

Passo 3

Para resolver , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados da desigualdade. Lembrando que, ao fazer isso em uma inequação, precisamos considerar tanto os valores positivos quanto os negativos:

Passo 4

Assim, o conjunto pode ser reescrito como a união de dois intervalos:

Passo 5

Agora, vamos determinar o ínfimo e o supremo desse conjunto. O ínfimo é o menor valor que o conjunto pode alcançar, e o supremo é o maior valor.
  • Infimum (Ínfimo): Observando o intervalo , vemos que não há um menor número real, pois sempre podemos encontrar um número menor que qualquer valor escolhido. Portanto, o ínfimo de não existe nos números reais, ou pode ser considerado como .
  • Supremum (Supremo): Observando o intervalo , percebemos que não há um maior número real, pois sempre podemos encontrar um número maior que qualquer valor escolhido. Assim, o supremo de também não existe nos números reais, ou pode ser considerado como .

Resposta

O conjunto não possui ínfimo nem supremo nos números reais, já que seu ínfimo é e seu supremo é .

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