Em cada conjunto abaixo, determine seu ínfimo e seu supremo, caso existam:
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto . Nosso objetivo é encontrar o ínfimo e o supremo desse conjunto, se eles existirem. Para isso, vamos precisar lembrar sobre os conceitos de infimum e supremum, que são basicamente o menor e o maior valor que o conjunto pode alcançar, respectivamente.
Passo 2
Vamos começar identificando quais números reais satisfazem a condição . Isso significa que estamos procurando todos os cujo quadrado é maior que 7.
Passo 3
Para resolver , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados da desigualdade. Lembrando que, ao fazer isso em uma inequação, precisamos considerar tanto os valores positivos quanto os negativos:
Passo 4
Assim, o conjunto pode ser reescrito como a união de dois intervalos:
Passo 5
Agora, vamos determinar o ínfimo e o supremo desse conjunto. O ínfimo é o menor valor que o conjunto pode alcançar, e o supremo é o maior valor.
Infimum (Ínfimo): Observando o intervalo , vemos que não há um menor número real, pois sempre podemos encontrar um número menor que qualquer valor escolhido. Portanto, o ínfimo de não existe nos números reais, ou pode ser considerado como .
Supremum (Supremo): Observando o intervalo , percebemos que não há um maior número real, pois sempre podemos encontrar um número maior que qualquer valor escolhido. Assim, o supremo de também não existe nos números reais, ou pode ser considerado como .
Resposta
O conjunto não possui ínfimo nem supremo nos números reais, já que seu ínfimo é e seu supremo é .