b) Para
resolva o problema de valor inicial composto por esta equação diferencial e satisfazendo as condições
e
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial para a equação diferencial
com as condições
e
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver, precisaremos integrar a função
duas vezes e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a equação diferencial
para encontrar a primeira derivada
. A integral de
em relação a
é:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial para
.
Passo 3
Agora, aplicamos a condição inicial
na expressão de
:
Portanto, a primeira derivada simplifica para:
Passo 4
Em seguida, integramos
para encontrar
:
Aqui,
é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial para
.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
na expressão de
:
Assim, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
.