b) Para f(x) = x resolva o problema de valor inicial composto por esta equação diferencial e satisfazendo as condições y(0) = 1 e y'(0) = 0.

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial para a equação diferencial com as condições e . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver, precisaremos integrar a função duas vezes e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação diferencial para encontrar a primeira derivada . A integral de em relação a é:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial para .

Passo 3

Agora, aplicamos a condição inicial na expressão de :
Portanto, a primeira derivada simplifica para:

Passo 4

Em seguida, integramos para encontrar :
Aqui, é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial para .

Passo 5

Aplicamos a condição inicial na expressão de :
Assim, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é .

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