A aplicação linear F: R^3 R^3 dada por F(1,0,0)=(1,1,0), F(0,1,0)=(0,0,1) e F(0,0,1)=(1,-1,6), é um automorfismo?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida pelas imagens dos vetores da base canônica:
Queremos descobrir se é um automorfismo, ou seja, uma transformação linear que é invertível. Para saber isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes de transformações lineares e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz que representa a transformação linear F = 1 & 0 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 6 . Cada coluna dessa matriz é a imagem dos vetores da base canônica pela transformação .
Então, a matriz de fica assim:

Passo 3

Agora, para saber se det(F) = 1 times (0 times 6 - (-1) times 1) - 0 times (1 times 6 - (-1) times 0) + 1 times (1 times 1 - 0 times 0) é invertível, precisamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz (e portanto a transformação) é invertível.
Vamos calcular o determinante de det(F) = 1 times (0 + 1) - 0 times (6 + 0) + 1 times (1 - 0) = 1 + 0 + 1 = 2 :
Simplificando cada termo:

Resposta

Sim, é um automorfismo porque o determinante da sua matriz é 2, que é diferente de zero.

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