Se A e B são matrizes reais de ordem 2 que comutam com a matriz X=[rr1 & 0 0 & -1], isto é, A X=X A e B X=X B, mostre que A B=B A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes 1 & 0 0 & -1 e de ordem 2 que “comutam” com uma matriz específica . Comutar aqui significa que e . Nosso objetivo é mostrar que, com essas condições, e também comutam entre si, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa A = a & b c & d . Isso implica que, quando multiplicamos AX = a & b c & d 1 & 0 0 & -1 = a times 1 + b times 0 & a times 0 + b times (-1) c times 1 + d times 0 & c times 0 + d times (-1) = a & -b c & -d por XA = 1 & 0 0 & -1 a & b c & d = 1 times a + 0 times c & 1 times b + 0 times d 0 times a + (-1) times c & 0 times b + (-1) times d = a & b -c & -d de um lado ou de outro, o resultado é o mesmo. Vamos chamar a & -b c & -d = a & b -c & -d de uma matriz geral:
-b = b Rightarrow b = 0
Agora, vamos calcular c = -c Rightarrow c = 0 e A = a & 0 0 & d :
Para que , as matrizes resultantes devem ser iguais:
Isso nos dá as condições:
Então, a matriz que comuta com tem a forma:

Passo 3

Fazendo o mesmo para a matriz B = e & f g & h , temos:
BX = e & f g & h 1 & 0 0 & -1 = e & -f g & -h
Calculando XB = 1 & 0 0 & -1 e & f g & h = e & f -g & -h e -f = f Rightarrow f = 0 :
g = -g Rightarrow g = 0
B = e & 0 0 & h
Para , temos:
Então, a matriz que comuta com também tem uma forma diagonal:

Passo 4

Agora que sabemos que tanto AB = a & 0 0 & d e & 0 0 & h = a times e + 0 times 0 & a times 0 + 0 times h 0 times e + d times 0 & 0 times 0 + d times h = a e & 0 0 & d h quanto BA = e & 0 0 & h a & 0 0 & d = e times a + 0 times 0 & e times 0 + 0 times d 0 times a + h times 0 & 0 times 0 + h times d = e a & 0 0 & h d são matrizes diagonais, vamos calcular AB = BA e :
Como a multiplicação de números reais é comutativa ( e ), temos:

Resposta

e comutam, ou seja, .

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