Se
e
são matrizes reais de ordem 2 que comutam com a matriz
, isto é,
e
, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes
e
de ordem 2 que “comutam” com uma matriz específica
. Comutar aqui significa que
e
. Nosso objetivo é mostrar que, com essas condições,
e
também comutam entre si, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso implica que, quando multiplicamos
por
de um lado ou de outro, o resultado é o mesmo. Vamos chamar
de uma matriz geral:
Agora, vamos calcular
e
:
Para que
, as matrizes resultantes devem ser iguais:
Isso nos dá as condições:
Então, a matriz
que comuta com
tem a forma:
Passo 3
Fazendo o mesmo para a matriz
, temos:
Calculando
e
:
Para
, temos:
Então, a matriz
que comuta com
também tem uma forma diagonal:
Passo 4
Agora que sabemos que tanto
quanto
são matrizes diagonais, vamos calcular
e
:
Como a multiplicação de números reais é comutativa (
e
), temos: