Sejam f, g: R R dadas por f(x)=x^4 e g(x)=x^7. Verifique que (f circ g)(x)=(g circ f)(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções, e . A gente precisa verificar se a composição das funções, ou seja, e , são iguais. Para isso, vamos usar o conceito de composição de funções, que basicamente significa aplicar uma função dentro da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular (f circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^7) . Isso significa que vamos aplicar a função depois de aplicar a função . Então, a gente começa substituindo na função :

Passo 3

Agora, vamos aplicar a função f(x^7) = (x^7)^4 no resultado . Como , substituímos por :

Passo 4

Para simplificar (x^7)^4 = x^7 times 4 = x^28 , lembramos que quando elevamos uma potência a outra potência, multiplicamos os expoentes. Então:
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos calcular (g circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^4) . Isso quer dizer que vamos aplicar a função depois de aplicar a função . Então, substituímos na função :

Passo 6

Aplicando a função g(x^4) = (x^4)^7 no resultado . Como , substituímos por :

Passo 7

Simplificando (x^4)^7 = x^4 times 7 = x^28 , multiplicamos os expoentes:
Assim, .

Resposta

Como e , concluímos que .

Exercícios relacionados